Recuperar una partición de 50

Question

La suma de 10 números, no necesariamente distintos, es de 50. Cuando se coloca de forma adecuada en los círculos de este diagrama, cualquiera de los dos números serán unidas por una línea si, y sólo si, tienen un divisor común mayor que 1.

¿Cuáles son esos números?

Cómo muchas otras particiones de 50 (o, en general, de N) puede ser únicamente se recuperó de su correspondiente gráfico de divisores comunes, es decir, la simple gráfico cuyo vértice es el conjunto de partes, dos de los cuales están unidos por una arista si, y sólo si, tienen un factor común mayor que 1?

Answer 1

Pruebe con un par de azar asignaciones de números de la gráfica que satisfacen la estructura de grafo. Observar que tienden a la suma mayor que $50$. Así que su estrategia debe ser la utilización de números que son tan pequeñas como sea posible, repitiendo el más pequeño de los números de tantas veces como sea posible.

Sugerencia 1: Comience por determinar el único lugar(es) donde se puede colocar un $1$.

Sugerencia 2: En una suma de cualquiera de las $10$ números de a $50$, debe haber un número par de números. ¿Dónde pueden ir?

Sugerencia 3: Ahora prorrateo de los impares, números primos $3$, $5$, y $7$ con avidez, colocando el más pequeño de los números primos en los grupos más grandes. ¿Qué resultado obtienes?

La generalización de la pregunta parece muy duro. Considere la posibilidad de solicitar una cuestión separada para los límites superior e inferior?