¿Cuál es el número máximo que no puede ser expresado como suma de dos números impares compuestos?

Question

Pregunta: ¿Cuál es el número máximo que no puede ser expresado como suma de dos números impares compuestos?

Por ejemplo, $14=7+7=5+9=3+11=1+13$ es uno de esos números, pero probablemente no el número máximo. $24=9+15=3\times3+3\times5$ no es uno de esos números.

No tengo ni idea de cómo abordar este. Gracias.

Answer 1

Considerar lo tres compuestos impares $9,25,35$. Estos son, respectivamente, $0,1,2\pmod 3$. Así, si $n$ es un número par, uno de los $n-9,n-25,n-35$ es un compuesto impar divisible por $3$ (bueno, suponiendo que es $>3$ por lo menos). Así $35+3=\fbox {38}$ es el número más grande que podría ser un ejemplo... Inspección demuestra que de hecho es un ejemplo, por lo tanto, el ejemplo máximo.

Answer 2

Sugerencia: si es divisible por $x\geq 18$ $6$, entonces podemos escribir $x$ $(6n+3)+9$ % entero positivo $n$, donde ambos $6n+3$ y $9$ son compuestos.

¿Puede hacer algo similar si % o $x\equiv 2$ $4\pmod 6$y $x$ son lo suficientemente grande?

Answer 3

$n \geq 39$, Al menos uno de lo números $n - 9, n - 15, n - 21, n-27, n- 33$ (que son todos mayores que $5$) debe ser divisible por $5$, por lo tanto compuesto. Así que puede limitar su búsqueda a números $n \leq 38$.

Como se ha señalado en otras respuestas, resulta que $38$ obras. Esto se puede comprobar como sigue. Si tuviéramos $38 = a + b$ donde $a$ y $b$ eran números compuestos impares, por lo menos uno de ellos, decir $a$, tendría que ser $\leq 19$. Así que basta con comprobar que $38 - 9 = 29$ y $38 - 15 = 23$ son primer.