¿Cómo encontrar el rango de una función racional?

Question

Cómo encontrar el rango de $$f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2+1} \quad ?

Su dominio es todos los números reales. Si utilizo el cálculo es muy largo pero si lo pongo a lado derecho de la ecuación igual a y obtener una ecuación cuadrática en $x^2$ pero no encuentro gama de y mediante la imposición de condición discriminante como si nos dejan decir $x$ fue compleja o imaginaria pero existe la posibilidad que cuando es elevado a potencia 2 o 4 se convierte en puramente real?

Answer 1

Sugerencia: escriba $\,(x^2+1)+\cfrac{1}{x^2+1}-1\,$ y utilizar $\,a+\cfrac{1}{a}\ge 2\,$ $\,a \ge 1\,$.

Answer 2

Claramente el rango es todo positivo, ambos términos son positivos. Como $x$ crece va a $+\infty$ así que solo tienes que encontrar el mínimo. Tomar la derivada a cero, encontrar el mínimo, y listo.

Answer 3

Primer aviso de que la función es par, que es $f(x) = f(-x)$.

Me gustaría mostrar que $1$ es ya sea el superior o el límite inferior de la función. Tenemos $f(0) = 1$, y la solución de la ecuación de $f(x) = 1$ da una única solución. Suponga que hay dos números reales $a$ $b$ tal que $f(a) < 1 < f(b)$. Si alguno de ellos son negativos, simplemente utiliza el $f(x) = f(-x)$ y cambiar su signo, lo que suponiendo WLOG que ambos son positivos. Por el teorema del valor intermedio debe haber un $c$ $a$ $b$ tal que $f(c) = 1$, pero desde $0 < c$ esto es una contradicción. Por lo tanto todos los números reales en el rango debe ser para el mismo lado de la $1$.

Desde $x^2 < f(x)$ $x^2 \to \infty$ $x \to \infty$ debemos tener $f(x) \to \infty$$x \to \infty$.

De esto podemos concluir que el rango de la función es $[1;\infty[$.