Producto infinito de espacios medibles

Question

1. Supongamos que existe una familia (puede ser infinita) de espacios medibles. ¿Qué son las formas habituales de definir un álgebra sigma sobre su producto cartesiano?

2. Hay una forma en el contexto de definir la medida del producto en planetmath . Dejemos que $(E_i, B_i)$ sean espacios medibles, donde $i \in I$ es un conjunto de índices, posiblemente infinito. Definimos su producto como sigue:

   • dejar $E= \prod_{i \in I} E_i$ el producto cartesiano de $E_i$ ,

   • dejar $B=\sigma((B_i)i \in I)$ el álgebra sigma más pequeña que contiene subconjuntos de E de la forma $\prod_{i \in I}B_i$ donde $B_i=E_i$ para todos los casos, excepto un número número de $i \in I$ .

   Me preguntaba por qué se requiere que " $B_i=E_i$ para todos los casos, excepto un número número de $i \in I$ "?

Gracias y saludos.

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AÑADIDO:

Me preguntaba si el producto álgebra sigma definido en 2 es el álgebra sigma más pequeña tal que cualquier tupla compuesta por un conjunto medible de cada álgebra sigma individual es medible.

Answer 1

Esta es una buena pregunta. Todavía no he elaborado una respuesta completa, pero el comentario de Mariano más arriba es sin duda parte de ella: el producto dado $\sigma$ -tiene la propiedad análoga a la de la topología del producto (a la que se asemeja y de la que seguramente es modelo): es la más pequeña $\sigma$ -que hace que todas las proyecciones sean medibles.

Por ello, creo que si se hace una categoría con todos los espacios medibles y las funciones medibles de la manera obvia, el producto $\sigma$ -que has definido resulta ser el producto categórico: es decir, satisface el requisito propiedad cartográfica universal . De nuevo, esta es la situación para la topología del producto.

Pero creo que el resto de la explicación tiene que ver con el hecho de que este $\sigma$ -El álgebra de los productos te da los teoremas que quieres, así como la topología del producto -y no la "topología de la caja", por ejemplo- tiene buenas propiedades, especialmente Teorema de Tychonoff . (La topología del producto se introdujo por primera vez en el artículo de Tychonoff, y su teorema desempeñó un papel importante para convencer a los matemáticos de que era la topología "correcta" en un producto cartesiano infinito).

No estoy seguro de cuál es exactamente el resultado análogo al teorema de Tychonoff en este caso, pero sí sé que este producto "más grueso" $\sigma$ -permite definir productos arbitrarios de espacios de probabilidad: véase encantadora ponencia de S. Saeki para una prueba increíblemente corta de eso. Espero que al menos quede claro dónde está la "tosquedad" del producto elegido $\sigma$ -El álgebra es muy útil: si (digamos que en el caso de un conjunto de índices contablemente infinito, para fijar ideas) ( Añadido: : La respuesta de Michael Greinecker muestra que los productos contables se comportan bastante bien, así que pensemos en incontable productos) permitimos productos arbitrarios $Y = \prod_{i} Y_i$ de subconjuntos medibles $Y_i \subset X_i$ para ser medible, entonces cuál debe ser la medida de $Y$ ¿ser? Si el conjunto de índices para los que $\mu(Y_i) < 1$ es incontable, el producto (tomando la red de subconjuntos finitos de $I$ ) debe acercarse a cero. Al exigir $Y_i = X_i$ para casi todos los $i$ , obtenemos que $\mu_i(Y_i) = 1$ para casi todos los $i$ y el producto infinito producto es realmente un producto finito.

¿Hay algo más en la historia que esto? ¿Es la construcción anterior de la medida de probabilidad del producto el análogo "correcto" del teorema de Tychonoff en este contexto? No estoy seguro, y me interesaría saber más de otros.

Answer 2

Esto es esencialmente un comentario extenso sobre el post de Pete L. Clark.

Podemos definir un producto de una función con valores reales $(a_i)_{i\in I}$ de la siguiente manera (una elaboración de la definición de Pete): Sea $\mathcal{F}$ sea el conjunto de subconjuntos finitos de $I$ . Es un conjunto dirigido bajo inclusión de conjuntos. Definimos una red $\pi:\mathcal{F}\to\mathbb{R}$ por $\pi(F)=\times_{i\in F}a_i$ . Dejamos que $\times_i a_i$ sea el límite de la red $\pi$ si es que existe. Cabe señalar que esta noción de convergencia difiere de la habitual producto infinito de una secuencia de números en la que se descarta la convergencia a cero, de modo que la convergencia se hace equivalente a la convergencia de la serie de logaritmos de los factores. Esencialmente, el límite se define entonces como indefinido cuando, en caso contrario, sería cero. Esto no tiene mucho sentido en la teoría de la probabilidad, donde a menudo queremos demostrar que una secuencia de eventos independientes tiene probabilidad $0$ . Además, el producto definido aquí es "absoluto", no depende de ningún orden en el conjunto de índices $I$ .

Es un hecho: Si $(a_i)\in [0,1]^I$ entonces $\times_i a_i$ existe. Si, además, $\times_i a_i>0$ entonces existe un subconjunto contable $C\subseteq I$ con $a_i=1$ para todos $i\in I\backslash C$ .

Prueba: A partir del hecho obvio de que si $P\geq 0$ y $0\leq a_i\leq 1$ uno tiene $Pa_i\leq P$ se deduce que la red $\pi$ es no creciente. También está obviamente acotado por debajo de $0$ Así que $\times_i a_i$ existe como límite de una red no creciente que está acotada por debajo. Supongamos ahora que $\times_i a_i>0$ . Para cada número natural positivo $n$ , dejemos que $F_n=\{ i\in I:a_i<1-1/n \}$ . Para cada $n$ , $F_n$ es finito, por lo que $\{i\in I:a_i<1\}=\bigcup_n F_n$ es contable.

Es un hecho: Si $I$ es contable y para cada $i\in I$ , $Y_i$ es un subconjunto medible de $X_i$ entonces $\prod_i Y_i$ está en el producto $\sigma$ -Álgebra.

Prueba: Por ejemplo, dejemos que $I=\mathbb{N}$ . Para cada $n$ el conjunto $S_n=X_1\times\ldots X_{n-1}\times Y_n\times X_{n+1}\times\ldots=\pi_n^{-1}(Y_n)$ está por definición en el producto $\sigma$ -Álgebra. Ahora $\prod_{n\in\mathbb{N}}Y_n=\bigcap_{n=1}^\infty S_n$ que está en el $\sigma$ -como la intersección contable de conjuntos medibles.

Mediante un argumento similar, se puede demostrar que para un conjunto de índices general $I$ todo conjunto medible puede escribirse (sujeto a los problemas habituales de etiquetado) como $\prod_{i\in C}Y_i\times\prod_{i\in I\backslash{C}}X_i$ con $C$ siendo un subconjunto contable de $I$ y $Y_i$ un subconjunto arbitrario medible de $X_i$ . Así que cada conjunto medible en el producto $\sigma$ -está determinada por un número contable de coordenadas. Un lema útil para pensar en esto y en cuestiones relacionadas es el siguiente:

Lema: Dejemos que $X$ sea un conjunto y $\mathcal{Y}$ sea una familia de subconjuntos de $X$ y que $B\in\sigma(\mathcal{Y})$ . Entonces existe una familia contable $\mathcal{C}\subseteq\mathcal{Y}$ tal que $B\in\sigma(\mathcal{C})$ .

Prueba: Basta con comprobar que la familia de todos los conjuntos construidos por subfamilias contables forma una $\sigma$ -Álgebra.

Como última observación: El teorema de Tychonoff tiene una aplicación directa en el estudio de las probabilidades en espacios de productos infinitos. El paso crucial para demostrar el Teorema de extensión de Daniell-Kolmogorov es mostrar que la medida de probabilidad resultante no es sólo finitamente aditiva sino contablemente aditiva en el álgebra del producto. Para ello se utiliza la regularidad con respecto a los conjuntos compactos en la topología del producto (véase aquí para un enfoque general). Esta es también la razón por la que el teorema no se cumple para espacios de productos arbitrarios (por lo que el producto independiente de espacios de probabilidad es bastante especial).

Answer 3

Detalles de $\textbf{lemma}$ mencionada por Michael Greinecker : Deja

$L=\{E \subseteq X; E\in \sigma(C)\,\mbox{for some} \, C\subseteq Y,\,\mbox{with C countable}\}$

Comprueba que se cumple lo siguiente:

$\bullet$ X, $\emptyset \in L$ (Obvio);

$\bullet$ Si, $E\in L$ entonces $E^{c}\in\sigma(C_E)$ para $C_E\subseteq Y$ (contable) tal que $E\in\sigma(C_E)$ ;

$\bullet$ si $\{E_n\}_{n\in\mathbb{N}} \subseteq L$ podemos tomar $\displaystyle C=\bigcup_{n=1}^{\infty}C_{E_n}$ con $C_{E_n}$ en el mismo sentido del punto anterior. Entonces C es contable y $\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n \in \sigma(C)$ .

Esta prueba de que L es un $\sigma$ -álgebra. Finnaly observa que

$\bullet$ $Y\subseteq L$ (Utilizando $\sigma$ -que genera cada elemento de Y);

$\bullet$ Para todo lo contable $C\subseteq Y$ ver que $\sigma(C)\subseteq \sigma(Y)$ y esto implica que $L\subseteq \sigma(Y)$ .

Porque $\sigma(Y)$ es el más pequeño $\sigma$ -que contiene a Y, tenemos $L=\sigma(Y)$ .

Esto demuestra que cada evento sólo depende de un número contable de conjuntos de generadores.

$\textbf{More about}:$ En el caso del producto, por la observación de Miguel se tiene que la medida del producto está generada por los conjuntos $\prod_{n\in C}Y_n \times \prod_{n\in I-C}X_n$ con $C\subseteq I$ contable, esto implica que para cada $E\subseteq X$ existe un máximo contable de $C\subseteq I$ y $E_C$ en el producto álgebra sigma de $(X_i, B_i)_{i\in C}$ Satisfaciendo a $$E=\pi_{C}^{-1}(E_C)\hspace{3cm}(1)$$ para $\pi_C : \prod_{i\in I} X_{i} \to \prod_{i\in C} X_{i}$ la proyección natural. Este resultado dice que, el producto álgebra sigma no está generado por los conjuntos $\prod_{i\in I} Y_{i}$ con $Y_i \in B_i$ para todos $i\in I(uncontable)$ En efecto, si cada $Y_i\neq X_i$ para un número incontable de índices $i\in I$ no existe un contable $C\subset I$ y $E_C$ tal que (1) se cumpla.