¿Cómo probar que el producto de ocho números consecutivos puede ' t ser un número elevado al exponente 4?

Question

¿Cómo demostrarlo? He intentado algo así como $$P(n,8)=\frac{n!}{(n-8)!} = b^4 pero no puedo proceder a una solución.

Answer 1

Vamos

$$f(x) = (x)\cdots(x+7)$$

$$g(x) = x^2 + 3x + 1$$

$$h(x) = x^2 + 11x + 29$$

A continuación, para $x > 0$,

$$f(x) < (g(x)h(x) - 1)^2$$

y para $x \ge 4$,

$$(g(x)h(x)-2)^2 < f(x)$$

por lo tanto, si $n$ es un entero positivo con $n \ge 4$,

$$(g(n)h(n)-2)^2 < f(n) < (g(n)h(n)-1)^2$$

por lo $f(n)$ no puede ser un cuadrado perfecto.

Se comprueba fácilmente que $f(1),f(2),f(3)$ no son cuadrados perfectos (porque, por ejemplo, son múltiplos de $7$, pero no múltiplos de $7^2$).

Por lo tanto el producto de $8$ consecutivos enteros positivos no puede ser un cuadrado perfecto.

Alguna explicación de donde $g,h$ vino . . .

De forma idéntica,

$$\begin{align*} x(x+1)(x+2)(x+3) &= \bigl((x)(x+3)\bigr)\bigl((x+1)(x+2)\bigr)\\[4pt] &=(x^2+3x)(x^2+3x+2)\\[4pt] &=\bigl((x^2+3x+1)-1)\bigr)\bigl((x^2+3x+1)+1)\bigr)\\[4pt] &=(x^2+3x+1)^2-1\\[4pt] \end{align*}$$

Entonces, reemplazando $x$$x+4$,

$$(x+4)(x+5)(x+6)(x+7) = (x^2+11x+29)^2-1 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\;$$

Por lo tanto, $f(x)$ es algebraicamente "cerrar" para

$$(g(x)h(x))^2$$

lo que motiva la idea de tratar de "trampa" $f(x)$ entre los dos cerca de los cuadrados perfectos.

Answer 2

He aquí una prueba de que no hay ningún número entero positivo $n$ tal que

$$f(n) = (n)\cdots (n+7)$$

es un perfecto $4$-ésima potencia.

La prueba es que a lo largo de las mismas líneas que la prueba me dio mostrando que no hay positivo integrer $n$ tal que $f(n)$ es un cuadrado perfecto, pero la prueba para el caso de $4$-th poderes es más fácil, y puede ser hecho a mano.

Así, supongamos $n$ es un entero positivo tal que $f(n)$ es una perfecta $4$-ésima potencia.

Podemos empezar por conseguir una rápida límite inferior en $n$ . . .

Teniendo en cuenta los factores de $7$, es claro que $f(n)$ debe ser un múltiplo de $7$, por lo tanto debe ser un múltiplo de $7^4$.

Pero en la mayoría de las dos de la $8$ factores pueden ser múltiplos de $7$, y en la mayoría de los que uno de ellos puede ser un múltiplo de $7^2$. Así, con el fin de $f(n)$ a un múltiplo de $7^4$, una de las $8$ factores debe ser un múltiplo de $7^3$.

De ello se desprende que $7^3 \le n + 7$, lo $n \ge 336$.

Lo siguiente que tenemos de par de hasta el $8$ factores . . .

Desde

$$\begin{align*} n(n+7) &= n^2 + 7n\\[4pt] (n+1)(n+6) &= n^2 + 7n + 6\\[4pt] (n+2)(n+5) &= n^2 + 7n + 10\\[4pt] (n+3)(n+4) &= n^2 + 7n + 12\\[4pt] \end{align*}$$

de ello se sigue que

$$(n^2 + 7n)^4 < f(n) < (n^2 + 7n + 12)^4$$

por lo tanto debemos tener

$$f(n) = (n^2 + 7n + c)^4$$

para algún entero positivo $c < 12$.

A partir de la definición de $f(n)$,$\bigl((n)(n+7)\bigr) \mid f(n)$.

$$\begin{align*} \text{Then}\;\;&\bigl((n)(n+7)\bigr) \mid f(n)\\[4pt] \implies\; &f(n) \equiv 0 \pmod {n^2 + 7n}\\[4pt] \implies\; &(n^2 + 7n + c)^4 \equiv 0 \pmod {n^2 + 7n}\\[4pt] \implies\; &c^4 \equiv 0 \pmod {n^2 + 7n}\\[4pt] \implies\; &n^2 + 7n \le c^4\\[4pt] \implies\; &n^2 < c^4\\[4pt] \implies\; &n < c^2\\[4pt] \implies\; &n < 144\qquad\text{[since %#%#%]}\\[4pt] \end{align*}$$

contrario a nuestras límite inferior, $c < 12$.

Por lo tanto no hay ningún número entero positivo $n \ge 336$ tal que $n$ es una perfecta $f(n)$-ésima potencia.