Integrar las funciones de punto de ' un ' para ' un ' prueba

Question

Entiendo que la integral de una función desde y hacia el mismo punto debe ser igual a cero, por ejemplo; $$\int_a^a f(x) \,dx= 0$ $ Tiene sentido, el área de un punto al mismo punto debe ser cero. Pero, ¿cómo se muestra esto en un sentido matemático, demostrando completamente, sin apenas decir 'tiene sentido'?

Answer 1

Considere la definición de Suma de Riemann en $[a,b]$

$$ \sum_{k=1}^n f(x_j^\ast)(x_j-x_{j-1}) $$

donde $a=x_0 \leqslant x_1 \leqslant \dots \leqslant x_{n-1} \leqslant x_n=b$ es una subdivisión de $[a,b]$ y $x^\ast_j\in [x_{j-1},x_j]$, $j=1,\dots,n$, son los puntos de muestreo. Entonces, si $a=b$, claramente tenemos $a=x_0=x_1=\dots=x_n=b$, por lo que cualquier Suma de Riemann es trivialmente $0$. Converge a $0$, lo $\int_a^b f(x)\; dx=0$.

Nota: Como se indica en @Eric Schmidt respuesta, esto depende mucho de tu elección de la definición. En la explicación anterior, he asumido que los puntos en una subdivisión podría ser igual, que no es ciertamente universal. Si se supone que tienen que ser diferentes (desigualdad estricta $<$, en lugar de grandes $\leqslant$), entonces usted no puede definir $\int_a^a f(x)\; dx$ a todos, ya que la Suma de Riemann, por lo tanto, su convergencia, no estaría definido.

Answer 2

Esto dependerá de las definiciones exactas utilizadas. Es ciertamente el caso de que uno de los siguientes sostiene:

1. La afirmación es verdadera por definición explícita.
2. La declaración sigue trivialmente a partir de la definición. (Técnicamente, la opción 1 es un ejemplo de esto).
3. Integrales donde ambos límites son los mismos no están definidos.

Consultoría de textos muy bien a la mano, me parece la siguiente:

Cálculo con Geometría Analítica, 6ª ed., por R. E. Larson et al., la siguiente opción 1.

Cálculo y Geometría Analítica, 9ª ed., por G. B. Thomas y R. L. Finney (la portada dice Thomas Cálculo Alternativo de Edición) sigue la opción 1.

Análisis elemental: La Teoría de Cálculo de K. A. Ross, parece seguir la opción 3. (La notación $[a, b]$ está expresamente limitada al caso de $a < b$ en este libro).

Principios de Análisis Matemático, 3ª ed., por W. Rudin, parece seguir la opción 3 (para la definición de la integral(-Stieltjes) integral), aunque si permite a $[a, a]$ como un intervalo cerrado se podría interpretar esto como la opción 2. Que la integral es cero tiene porque, en este caso, todos los puntos en una partición debe ser igual, por lo que las diferencias entre dos puntos sucesivos son cero, de modo que la parte superior e inferior de las sumas de la partición son cero, de modo que la parte superior e inferior de las integrales son cero, por lo que la integral existe y es igual a cero. Pero no creo que Rudin los medios para incluir esta posibilidad, porque Teorema 6.12(c) está escrito para evitarlo.

Answer 3

Es realmente muy simple. En sentido matemático puro:

Supongamos\begin{align*} \int f(x)\ dx&=g(x)+c\\ \implies\int_a^af(x)\ dx&=g(x)+c\big|_{x=a}^{x=a}\\ \implies\int_a^af(x)\ dx&=[g(a)+c]-[g(a)+c]\\ \implies\int_a^af(x)\ dx&=0\end{align*}

Answer 4

$$\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx$ $ Y si se establece $b=c$, que $$\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^b f(x) dx$ $ y por lo tanto $$\int_b^b f(x) dx = 0$ $

Answer 5

Supongamos que existe de $\int^a_a{f(x) dx}$ (si no es así, entonces esta pregunta no tiene mucho sentido). De las reglas de integración ($\int^b_a{f(x) dx} = -\int^a_b{f(x) dx}$), sabemos que tiene lo siguiente:

$$\int^a_a{f(x) dx} = -\int^a_a{f(x) dx}$$

Ahora, hay exactamente un valor que es su propio inverso aditivo: $0$. Por lo tanto:

$$\int^a_a{f(x) dx} = -\int^a_a{f(x) dx} = 0$$