Considerar la costumbre de los tres cuerpos de problema con Newtoniana $1/r^2$ de la fuerza entre las masas. Permita que los tres masas empiezan a descansar, y no colineales. Entonces se vuelven colineales un tiempo finito, posteriormente, por un teorema Lo probé hace algún tiempo. (Ver los artículos "Infinitamente Muchos Syzygies" y "El cero, el momento angular de los tres cuerpos de problema: todos, pero una solución que se ha syzygies" disponible en mi sitio web o la arXivs.) Deje $t_c$ denotar la primera vez.
Escribir $r_{ij} (t)$ de la distancia entre la masa $i$ y la masa de $j$ tiempo $t$.
Pregunta 1. Para la población general $m_i >0$, es cierto que el "momento de inercia" $I = m_1 m_2 r_{12}^2 + m_2 m_3 r_{23}^2 + m_1 m_3 r_{13}^2$ monótonamente disminuye a lo largo del intervalo de $(0, t_c)$?
Pregunta 2. Si las masas son todos iguales y si el lado inicial-longitudes
satsify $0 < r_{12}(0) < r_{23} (0)< r_{13} (0)$
es cierto que estas desigualdades siguen en vigor: $0 < r_{12} (t) < r_{23} (t) < r_{13}(t)$
para $0 < t < t_c$? En otras palabras: si el triángulo que comienza como escaleno (no isósceles, y teniendo área diferente de cero) ¿sigue siendo escaleno hasta la multicolinealidad?
Motivación: el espacio de La colineales triángulos, que consta de triángulos de cero área, actúa como un global de Poincaré sección para el cero, el momento angular, energía negativa los tres cuerpos de problema. Para obtener una cierta comprensión de la devolución del mapa, desde este espacio, el "freno órbitas"-- aquellas soluciones en las que todas las velocidades de desaparecer en algún instante -- parecen jugar un organizador de papel. Responder cualquiera de las preguntas proporcionaría información útil acerca de freno de las órbitas.
Aparte: sospecho que si las respuestas a ambas preguntas es sí para el estándar $1/r^2$ fuerza, entonces también es sí para cualquier atractivo "ley de potencias" $1/r^a$ de la fuerza entre las masas, cualquier $a > 0$.
agregó, Septiembre 20, 2010. La recompensa es una respuesta a la pregunta 1 o 2.
He hecho parcial progreso hacia 2 uso de métodos variacionales
(método directo del cálculo de variaciones). Puedo demostrar que si un sicigias
es elegido en cualquier lugar en un barrio de colisión binaria (por lo $r_{12}(t_c) = \delta$, pequeño, $r_{23} (t_) = r_{13}(t_c) + \delta$)
entonces existe un freno de la órbita de la solución
arco final en este sicigias y la satisfacción de la desigualdad de la pregunta 2.
La prueba sugiere, pero no prueba, de que el resultado se da localmente cerca de
isósceles, lo que significa que el freno de las condiciones iniciales
en un barrio de isósceles freno de las condiciones iniciales ( por lo
$r_{13} (0) = r_{12} (0) + \epsilon$). Si yo tuviera la singularidad [modulo de rotación y reflexión] de freno órbitas con especificada sicigias extremos, entonces mi prueba de rendimiento de una prueba de esta versión local de la supuesta teorema.
Por desgracia, mi prueba no excluye la posibilidad de más de una órbita final en la opción de sicigias, uno de los cuales viola la desigualdad.
