¿Cubo/círculo/etcetera sin un punto en el frontera convexa?

Question

La lectura de este artículo aquí, acerca de la optimización convexa (foto de la página 2-3).

¿Qué acerca de si el objeto se pierde el punto de la esquina? Creo que es convexa, pero no estoy seguro de si mi intuición no me falla aquí. Es convexo o no? Es un balón sin el contorno convexo? Lo dudo, porque si yo seleccione un punto, siempre se puede ir más cerca y más cerca (en realidad nunca llegar al punto sin Número extenso sistema de ofc). No estoy seguro sobre el caso general, con el límite de puntos, como si yo no denso en el espacio como puntos faltantes $\mathbb R^{N} \text{ (exclude sign here please) } \mathbb Q^{N}$ desde el espacio $\mathbb C^{N}$.

Answer 1

El límite de un conjunto convexo cuenta especial de puntos, llamados puntos extremos, generalizar las esquinas. Usted puede eliminar cualquiera de estas y el conjunto restante será convexa. Si quita una ordinaria límite punto de que no es un punto extremo, entonces usted puede terminar para arriba con un conjunto que no es convexo.

Todos los puntos en el límite de una pelota son extremas y así usted puede eliminar cualquiera de ellos o todos. En la wikipedia ilustración, los puntos extremos aparecen en rojo; usted puede eliminar cualquiera de ellos o todos. Pero si deja los extremos de la red segmentos, a continuación, usted no puede eliminar cualquiera de los ordinarios puntos de límite sin romper la convexidad.

Una relacionada con el resultado es el Krein–Milman teoremaque dice que un compacto conjunto convexo es el cierre del casco convexo de sus puntos extremos. De manera informal, se puede recuperar la forma de un compacto convexo conjunto de sus puntos extremos.

Answer 2

No estoy seguro de que entiende todo lo que estás diciendo, pero por lo que entiendo parece que has entendido mal la definición de la convexidad. En las diapositivas vínculo, la convexidad es introducido por la condición de

$$f_i(\alpha x + \beta y) \le \alpha f_i(x) + \beta f_i(y)$$

para $\alpha+\beta=1$, $\alpha\ge0$, $\beta\ge0$ en la restricción de las funciones de $f_i$ en las limitaciones

$$f_i(x)\le b_i\;.$$

Es decir, si las restricciones se cumplen para$x$$y$, que también se cumplen para todas las combinaciones convexas de $x$$y$, es decir, para todos los puntos sobre el segmento de línea de unirse a $x$$y$. Por lo tanto, las dificultades para definir un conjunto convexo, que es un conjunto que contiene todas las combinaciones convexas de sus puntos.

Por lo tanto, usted no tiene que pensar acerca de si usted puede acercarse o llegar al límite para decidir si un conjunto es convexo. Un cubo sin sus esquinas y una bola sin que sus límites son tanto convexo, ya que estos puntos de límite no se encuentran en los segmentos de línea unirse a otros puntos. Por el contrario, si usted fuera a quitar los puntos medios de los lados de un cubo, que dejarían de ser convexo, ya que los puntos se encuentran en los segmentos de línea de unirse a otros puntos, por ejemplo, en la cara de las diagonales – esto es similar a la tercer ejemplo en la imagen.