¿Son no-asociativos los operadores (u otro tipo de elementos) utilizado en la física?
Por ejemplo, en QM estoy buscando algo como esto: $A(BC)|\psi\rangle \ne (AB)C|\psi\rangle$
Nota: creo que esta pregunta no tiene mucho sentido, en ese caso cerrará.
No asociativo álgebras representan un desafío en la teoría cuántica porque no se dio cuenta de como operadores lineales en un espacio de Hilbert que son automáticamente asociativo por la construcción.
Estas álgebras de aparecer en la descripción clásica de una partícula que se mueve bajo la influencia de un monopolo magnético en $\mathbb{R}^3$ así como en la teoría de cuerdas en fondos con nonvanishing $H$-campo (es decir, con no constante $B$-campo). Por favor, véase, por ejemplo, la siguiente revisión por Dieter Lüst.
En ambos casos, la clásica fase de espacios se vuelven 2-plectic colector en lugar de simpléctica.
En el caso de que el monopolo magnético, El corchete de Poisson de dos generalizada momenta de una partícula que se mueve en un campo magnético de fondo está dada por:
$\{\pi_i, \pi_j\} = ie\frac{\hbar}{c}\epsilon_{ijk}B^k(x)$
En este caso, el finito traducción operadores de $T(\mathbf{a}) = exp(\frac{1}{i \hbar}\mathbf{a}.\mathbf{\pi} ) $ satisfacer:
$(T(\mathbf{a_1})T(\mathbf{a_2}))T(\mathbf{a_3}) = exp( -\frac{ie}{\hbar c} \Phi(\mathbf{a_1},\mathbf{a_2}, \mathbf{a_3}))T(\mathbf{a_1})(T(\mathbf{a_2})T(\mathbf{a_3}))$
Donde $\Phi(\mathbf{a_1},\mathbf{a_2}, \mathbf{a_3})$ es el flujo a través de la tetraedro generada por las tres traducciones $\mathbf{a_1}, \mathbf{a_2}, \mathbf{a_3}$.
Y la Jacobi relación de tres generalizada momenta se convierte en
$ \epsilon_{ijk}\{\pi_i, \{\pi_j, \pi_k\}\}= \frac{2e\hbar^2}{c}\mathbf{\nabla}.\mathbf{B}$
En la presencia de un monopolo magnético, el flujo a través del tetraedro es nonvanishing, que conduce a la pérdida de la asociatividad de las finito de traducción de los operadores. También se $ \mathbf{\nabla}.\mathbf{B} \ne 0$ lleva a la violación de la identidad de Jacobi.
Debido a esta violación, los corchetes de Poisson se llama trenzado de los corchetes de Poisson.
En el monopolo magnético caso, la cuantización de la carga magnética conduce a la cuantización del flujo a través de la tetraedro y el álgebra de la finitos traducción operadores se convierte en asociativa. Sin embargo, la identidad de Jacobi está siendo violado en este caso. Este problema se evita si las fuentes de carga magnética se encuentran fuera del espacio de configuración, a continuación, la Jacobi relación está satisfecho. En este caso, el espacio de configuración no ser $\mathbb{R}^3$. Por ejemplo, si la partícula está restringido a moverse en dos dimensiones de la esfera, estos problemas se hubieran evitado.
Otra forma de salir es declarar la generalizada momenta como nonohysical y trabajar sólo con subalgebras de los operadores que satisface la identidad de Jacobi, por ejemplo, el ángulo en que momenta
$J_k = \epsilon_{ijk} x_i\pi_j$
Como se mencionó anteriormente, no asociativo álgebras no pueden ser representados por operadores lineales en un espacio de Hilbert. Sin embargo, es bien sabido que el espacio de Hilbert descripción no es la más general descripción de la teoría cuántica. En el caso de nonassociativity, debido principalmente a la teoría de cuerdas aplicaciones, hay intentos de encontrar métodos de cuantización, en la que no asociativo álgebras puede ser representado. Este tema es muy nuevo y no se entiende todavía, por favor, véase por ejemplo el siguiente artículo por Mylonas Schupp y Szabo.
La principal herramienta utilizada es la deformación de cuantización que es uno de los métodos más general de la cuantización. La razón por la que este método es que las obras de los productos estrella puede ser no asociativo, por ejemplo, el Moyal producto estrella se convierte en no asociativo cuando la distribución de Poisson bivector no es el recíproco de un sistema cerrado formulario.
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