¿Por qué son estos granos adecuados y cómo deducir que son?

Question

Estoy luchando para entender los núcleos y cómo determinar si son adecuados o no.

Para estos ejemplos puede alguien explicar por qué un ejemplo es la correcta y por qué otro ejemplo es no.

Dado $K_1$ $K_2$ dos adecuada núcleos, determinar cuáles de las siguientes fórmulas definir los núcleos:

$$ K_4(x_1,x_2) = -K_1(x_1,x_2)^2 K_2(x_1,x_2) \\ K_3(x_1,x_2) = -K_2(x_1,x_2) + 3K_1(x_1,x_2) \\ K_5(x_1,x_2) = 15 K_1(x_1,x_2) $$

Estoy particularmente interesado en cómo obtener la respuesta, en vez de indicar que son apropiados y cuáles no.

Answer 1

En una máquina contexto de aprendizaje (es decir, del núcleo "métodos"), el requisito clave para un kernel es que debe ser simétrica y positiva definida, es decir, si $K$ es un núcleo de la matriz, entonces para cualquier (columna) de vectores $x$ de la longitud adecuada, $x^{T}Kx$ debe ser un número real positivo. Esta restricción está en el lugar, principalmente debido a los requisitos de optimización de procesos que operan río abajo, en esta matriz.

Para responder a su pregunta, ciertas operaciones básicas preservar positivo de la definición, y algunos no. Usted puede utilizar la definición positiva de la definición anterior para decidir si una operación conserva la propiedad o no. La operación del producto no siempre preservar la certeza positiva (que no se conservan en el caso de que su producto es conmutativo). La plaza de la operación, no obstante conservar. Para un número real positivo $r$, $rK$ es positiva definida, y la suma de cualesquiera dos positiva definida matrices también es positiva definida.

Así que en tus ejemplos, $K_3$ $K_4$ puede o puede no ser adecuada en el kernel de matrices (para usar su terminología) y $K_5$ es sin duda, una adecuada núcleo de la matriz.

Answer 2

Una forma fácil es pensar en una función del núcleo como matriz positivo-semidefinite (PSD). Entonces puede utilizar trucos PSD.

Por ejemplo, si el $K$ es PSD, entonces $-K$ es NSD y así no PSD. Por otro lado, si $K$ es PSD, $c K$ es PSD si $c$ es un escalar y $c > 0$. Así, $K_4$ y $K_3$ no son generalmente granos y $K_5$.