Que $k$ sea un campo finito de característica diferente de $2$. Que $X = V(x^2 + y^2 + z^2) \subset \mathbb{P}_k^2$ ser cónica lisa. ¿Cuál es la función del zeta de $X$?
Respuesta
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Esto es fácil, pero tal vez no por la razón que usted puede pensar. Es decir, si $X/\mathbb{F}_q$ es un buen cónica, a continuación,$X\cong\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_q}$. Hay varias maneras de ver esto.
Todos ellos están basa en la siguiente observación. Si $X/k$ (en cualquier campo) es un buen cónica, a continuación, $X\cong\mathbb{P}^1_k$ si y sólo si $X(k)\ne \varnothing$. De hecho, si $x\in X(k)$$\ell(\mathcal{O}(x))=1+1-0=2$. Por lo tanto, hay algo de $f\in K(X)$ de manera tal que el único polo de $f$ $x$ e lo $f$ define un grado $1$ mapa de $X\to\mathbb{P}^1_k$, que deberá ser un isomorfismo.
Por eso queremos demostrar que cualquier liso cónica $\mathbb{F}_q$ tiene un punto racional:
1) Intentar mostrar que cualquier cónica $\mathbb{F}_q$ tiene un punto racional por parte de los primeros principios.
2) Para cualquier cónica $ax^2+by^2=z^2$ tenemos asociado un álgebra de cuaterniones $Q(a,b)$$\mathbb{F}_q$, lo que, obviamente, se divide si y sólo si $ax^2+by^2=z^2$ tiene un punto. Pero, $\text{Br}(\mathbb{F}_q)=0$, por lo que esto es automático.
(Más en general $\text{Br}(k)$ clasifica Brauer-Severi esquemas--variedades de más de $k$ isomorfo $\overline{k}$ (o $k^\text{sep}$) isomorfo a algunos proyectiva del espacio liso cónicas, evidentemente, son geométricamente isomorfo a la línea proyectiva)
Así que, por supuesto, tenemos que
$$\begin{aligned}Z(X,t) &=Z(\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_q},t)\\ &=Z(\mathbb{A}^1_{\mathbb{F}_q}+\ast,t)\\ &=Z(\mathbb{A}^1_{\mathbb{F}_q},t)\cdot Z(\ast,t)\\ &=\frac{1}{1-qt}\cdot\frac{1}{1-t}\\ &=\frac{1}{(1-qt)(1-t)}\end{aligned}$$
