¿Función biyectiva continua en $\mathbb R^n$ que no sea un homeomorfismo?

Question

Supongamos que tenemos un mapa continuo biyectivo $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ (con respecto a la topología estándar). ¿Debe este mapa ser un homeomorfismo?

Tengo pocas dudas al respecto. Creo que si sucede, supongo que es cierto, he escuchado que es cierto, pero no puedo demostrarlo.

Answer 1

Cada mapa de este tipo está abierto de acuerdo con invariancia de dominio y, por lo tanto, es un homeomorfismo. Sin embargo, la invariancia del dominio es muy complicada de demostrar con métodos topológicos elementales. La forma más elegante sería a través de la topología algebraica.

Answer 2

Creo que esto también debería funcionar:

Tenemos el resultado de que un homeomorfismo local biyectivo entre dos espacios $X,Y$ es un homeomorfismo global. Luego mostramos que un mapa $f:X\rightarrow Y$ con las condiciones dadas es un homeomorfismo local biyectivo (dado en el problema).

Entonces mostramos que obtenemos un homeomorfismo local.

Seleccionamos, para cualquier x en $\mathbb R^n$, una bola cerrada $B(x,r)$; $r>0$ entonces

$f|_{B(x,r)}$ es una aplicación continua y biyectiva entre el subconjunto compacto $B(x,r)$ y $f(B(x,r))\mathbb R^n$, Hausdorff (la restricción a $f(B(x,r))$ es Hausdorff), es un homeomorfismo.

Luego seleccionamos un vecindario abierto $B^0(x,r)$ de $B(x,r)$. Entonces $f|_{B^0}$ también es

un homeomorfismo, por lo que obtiene un homeomorfismo local inyectivo $f:B^0\rightarrow f(B^0)$ entre los espacios X,Y, que

es un homeomorfismo global. Como Pete Clark dijo (Si entendí bien), puedes repetir este argumento cuando un subconjunto cerrado y acotado es compacto.

Answer 3

Sí, una función continua $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ debe ser un homeomorfismo.

Es suficiente verificar que tal aplicación $f$ es cerrada. Aquí hay dos pistas para ayudar a demostrar esto:

1) Mostrar que un subconjunto $K$ de $\mathbb{R}^n$ es compacto si y solo si $f(K)$ es compacto.
2) Mostrar que un subconjunto $Y$ de $\mathbb{R}^n$ es cerrado si y solo si para cada subconjunto compacto $K$ de $\mathbb{R}^n$, $Y \cap K$ es cerrado.

(Este argumento debería funcionar con $\mathbb{R}^n$ sustituido por cualquier espacio métrico en el cual un subconjunto es compacto si y solo si es cerrado y acotado.)