Polinomio graduada módulos de álgebra en cero y positivos.

Question

Que $A(k)$ ser un $k$-álgebra con $2$ generadores de $x$, #% y $y$ $1$define relación: $$yx - xy - 1= 0.$$Define an $ a (k) $-action on the vector space $M: = k [t] $ as follows:$% $$y \text{ acts as }{d\over{dt}},\text{ resp. }x\text{ acts as multiplication by }t.$tengo unas preguntas.

1. ¿Cómo ver que la acción anterior $M$ un $A(k)$ módulo y que este módulo es sencillo si $\text{char}\, k = 0$?
2. Que $\text{char}\,k > 0$. ¿Es necesariamente simple el $A(k)$-módulo $M$? ¿Qué es la construcción de un módulo de % de % simple #% #?

Answer 1

Con el fin de hacer una $k$-espacio vectorial $M$ en un módulo más de la $k$-álgebra con la presentación de $\langle x, y\;|\;yx-xy=1\rangle$ es suficiente para asignar a cada generador en la presentación de un $k$-espacio endomorfismo de $M$ de tal manera que la definición de la relación se mantiene para el asignado endomorphisms. En este ejemplo se asigna a $y$ el endomorfismo $f\mapsto f'$ $f=f(t)\in M=k[t]$ y se asigna a $x$ el endomorfismo $f\mapsto tf$. Para comprobar que la relación está satisfecho, usted debe verificar que el $(yx-xy-1)f = 0f = 0$ por cada $f\in k[t]$. Es decir, se debe verificar que el $(tf)'-t(f')-f = 0$ por cada $f\in k[t]$, lo que puede ser escrito sugestivamente como $(tf)' = tf'+1f$.

Para comprobar la sencillez, usted debe demostrar que si $f\in M$ no $0$,$M=\langle f\rangle$. Para ello, elija cualquier $f\neq 0$ y multiplicar por $y$ repetidamente hasta obtener una constante distinto de cero. Usted puede ampliar para mostrar que $1\in\langle f\rangle$. Luego se multiplica por $x$ repetidamente para mostrar $t^m\in\langle f\rangle$. Ahora no es difícil ver por qué los $\langle f\rangle =k[t]=M$.

Este módulo $M=k[t]$ no es simple en el carácter $p>0$, ya que el $x^pM=t^pk[t]$ es un buen submódulo. Se puede demostrar que los $M/x^pM$ es simple por un argumento como el que en el párrafo anterior.