Definición de límite

Question

Aprendí en la escuela que este límite $\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}$ no existe, y intiuitively parece que ese es el caso, pero yo no lo pillo.

Para empezar, entiendo que la definición de límite de esta manera, por favor, dime donde estoy mal o si me falta algo:

Deje $A, B\subseteq \mathbb{R}$ $f:A\longrightarrow B$ una función tal que $a\in A$ es un acummulation punto. Entonces decimos que la $l\in B$ es el límite de la función $f$ al $x$ approches $a$ y se denota por a $\lim_{x\to a}f=l$ si y sólo si $\forall \epsilon\in \mathbb{R}(\epsilon>0)\exists\delta\in \mathbb{R}(\delta >0)\forall x\in A(0<|x-a|<\delta\longrightarrow |f(x)-l|<\epsilon)$.

Así que, en consecuencia, tengo la función de $f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\longrightarrow\mathbb{R}$ tal que $f(x)=\frac{1}{x}$. Desde $0\notin Dom (f)$, entonces no tiene sentido hablar acerca de la definición de $\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}$.

También creo que probablemente necesite cambiar en mi definición de la parte de $(\forall x\in A)$$(\forall x\in \mathbb{R})$. Esto es coherente porque si mi métrica espacios no fueron los subconjuntos de a $\mathbb{R}$, por ejemplo si yo tuviera $E_{1}, E_{2}$ métrica espacios y $A\subseteq E_{1}, B\subseteq E_{2}$ tal que $f:A\longrightarrow B$. Para la parte $|x-a|<\delta$ a sentido es necesario que el $x\in A$ o $x\in E_{1}$. El problema aquí es que la toma de $(\forall x\in E_{1})$ pueda convertir en indefinido muchos puntos de la parte $|f(x)-l|$ porque podría ser que $A\subseteq E_{1}$ pero $A\neq E_{1}$.

Edit: Con todas las sugerencias - muchas gracias chicos - mi nueva definición es de esta manera:

Deje $A, B\subseteq \mathbb{R}$ $f:A\longrightarrow B$ una función tal que $a\in \mathbb{R}$ es un acummulation punto de $A$. Entonces decimos que la $l\in \mathbb{R}$ es el límite de la función $f$ al $x$ approches $a$ y se denota por a $\lim_{x\to a}f=l$ si y sólo si $\forall \epsilon\in \mathbb{R}(\epsilon>0)\exists\delta\in \mathbb{R}(\delta >0)\forall x\in A(0<|x-a|<\delta\longrightarrow |f(x)-l|<\epsilon)$.

Ahora, tengo este problema. Con esta definición puedo demostrar que, dada la función de $f:\mathbb{R^{+}}\longrightarrow \mathbb{R}$ tal que $f(x)=\sqrt{x}$,$\lim_{x\to 0}\sqrt{x}=0$. Pero oficialmente, este límite no existe, a pesar de $\lim_{x\to 0^{+}}\sqrt{x}=0$.

Si yo sustituto $\forall x\in A$$\forall x\in \mathbb{R}$, entonces el problema parece estar solucionado. Pero ahora esto no permite hablar de funciones racionales, como por ejemplo si puedo tomar la función de $f:\mathbb{Q}\longrightarrow \mathbb{R}$ tal que $f(x)=x$ $\lim_{x\to 0}f(x)$ no existe. Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

Creo que el problema es que los límites son definidos generalmente sólo para el total de funciones, en lugar de funciones parciales. Pero, ya que nunca he visto a la noción de límite definido por una función parcial, voy a tener que hacerlo. Aquí va.

Definición. Deje $X$ $Y$ el valor de la métrica espacios y $f : X \rightarrow Y$ denotar una función parcial con dominio de definición de $A$ de manera tal que cada elemento de a $X$ es un punto límite de $A$. Entonces, decimos que el $y \in Y$ es un límite de $f$ $x \in X$ fib para todos los $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que para cada a $x' \in (B_\delta(x) \setminus \{x\}) \cap A$ tenemos $f(x') \in B_\epsilon(y).$

Ahora, yo no puedo prometer que esto es en realidad la forma correcta de hacer las cosas. Sin embargo, parece dar el "óptimo" de respuesta en una variedad de casos. Por ejemplo, considere la función parcial $$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\quad f(x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}) = \frac{1}{x}.$$

Todo lo que quiero decir con esto es que $f$ es una función parcial, ha de dominio $\mathbb{R},$ codominio $\mathbb{R}$, y su definida en el conjunto $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ y es igual a $1/x$ no.

De todos modos, tenga en cuenta que $f(x)$ no tiene límite de $x$ enfoques $0$ según la definición dada, que es lo que sería de esperar.

Por otro lado, consideremos la función parcial $$g : [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R},\quad g(x \in \mathbb{R}^+) = \sqrt{x}.$$

De acuerdo con la definición dada, $g(x)$ tiene un único límite de $x$ enfoques $0$, es decir,$0$. De nuevo, esto parece como la "óptima" respuesta bajo las circunstancias.

Answer 2

Creo que la suya es básicamente una cuestión de notación. Sería más claro si $\lim_{x \to 0} \sqrt{x}$ fueron reemplazados por $$\lim_{\substack{x \to 0 \\ x \geq 0}} \sqrt{x}?$$ Since we learn limit for functions defined on subsets of $\mathbb{R}$, we tend to think that every independent variable lives in a big set: $\mathbb{R}$. En general, la topología, el límite está definido a través de la relación de la topología del dominio, y no hay confusión.

Por cierto, una frase como $\lim_{x \to 0} \sqrt{x}$ es de sentido porque no podemos considerar $x<0$ es solo una trampa para los estudiantes: no matemático, lo consideraría como una importante observación! En mi opinión, debemos hacer la vida más fácil: si el límite es significativa sólo de un lado, por ejemplo,$x \to a^+$, podríamos identificar a $x \to a$$x \to a^+$. Pero aviso que $\lim_{x \to -1} \log x$ es sin sentido.

Answer 3

La definición dada en la edición es correcta. Está de acuerdo con la definición 4.1 en bebé Rudin. Esta definición implica que el $\lim_{x \to 0} \sqrt{x} = 0$, que es una declaración verdadera.