Tomando la suma conectada de cuatro discos cerrados... ¿Qué conseguimos?

Question

Si tomamos la suma conectada de cuatro discos cerrados $S = 4 \mathbb{\overline{D}} = \mathbb{\overline{D}} \# \mathbb{\overline{D}} \# \mathbb{\overline{D}} \# \mathbb{\overline{D}}$, ¿qué $S$ aspecto tiene y cómo se describe el límite? (Esto se ha resuelto) Es solo una $2$ esfera, desde $ \mathbb{\overline{D}} \# \mathbb{\overline{D}} = \mathbb{S}^2$ y $ \mathbb{S}^2 \# \mathbb{S}^2 = \mathbb{S}^2?$

¿Cómo escribe abajo un modelo de plano para esta superficie? Si $S = 4 \mathbb{\overline{D}}$ es un anillo, ¿sólo tiene el mismo modelo de avión que el cilindro? (Puesto que son homeomórficos)

Answer 1

Primero de todo, como Mike Miller señala en su comentario, $D^2 \# D^2 \approx S_1 \times [0,1] $ que es simplemente un cilindro. Así que lo que se obtiene es el conectado suma de dos cilindros.

En términos de la escritura de la plana modelo para esta superficie, esta cuestión de la mina será de utilidad: ¿Cuál es la palabra asociada con el conectado suma de dos superficies con límite?. La actual respuesta sea la correcta para los colectores sin límites, pero no para los colectores con límite. He encontrado la respuesta para los colectores con límite y voy a publicar pronto, pero el resultado es que la palabra asociada a la conectada suma de las superficies con límite (con palabras asociadas a$p_1$$p_2$)$c^{-1}p_1cp_2$.

El cilindro tiene como un asociado de la palabra $aba^{-1}c$, por lo que la palabra asociada a la conectada suma de dos cilindros es de:

$$g^{-1}aba^{-1}cgded^{-1}f$$

Con esto usted puede crear los planos del modelo y clasificar la superficie utilizando la clasificación de los colectores compactos.