Heurística detrás de las transformadas de Fourier-Mukai transformar

Question

¿Qué es la heurística idea detrás de las transformadas de Fourier-Mukai transformar? ¿Cuál es la conexión a la clásica de la transformada de Fourier?

Por otra parte, podría alguien recomendarme una concisa introducción al tema?

Answer 1

En primer lugar, recordemos la clásica de la transformada de Fourier. Es algo como esto: Tomar una función $f(x)$, y, a continuación, la transformada de Fourier es la función de $g(y) := \int f(x)e^{2\pi i xy} dx$. Yo realmente no sabe casi nada acerca de la clásica de la transformada de Fourier, pero uno de los puntos principales es que la transformada de Fourier se supone que será una invertible operación.

Las transformadas de Fourier-Mukai transformar en geometría algebraica recibe su nombre debido a que, al menos superficialmente se parece a la clásica de la transformada de Fourier. (Y, por supuesto, porque fue estudiada por Mukai.) Permítanme dar una imagen aproximada de las transformadas de Fourier-Mukai transformar y cómo se asemeja a la clásica situación.

1. Tomar dos variedades de $X$$Y$, y una gavilla $\mathcal{P}$$X \times Y$. La gavilla $\mathcal{P}$ es a veces llamada la "integral del núcleo". Tomar una gavilla $\mathcal{F}$$X$. Creo que de $\mathcal{F}$ como análogo a la función de $f(x)$ en la clásica situación. Creo que de $\mathcal{P}$ como análogo a, en la clásica situación, algunas de las funciones de $x$$y$.

2. Ahora tire de la gavilla de vuelta a lo largo de la proyección $p_1 : X \times Y \to X$. Pensar en la retirada de $p_1^\ast \mathcal{F}$ como análogo a la función de $F(x,y) := f(x)$. Creo que de $\mathcal{P}$ como análogo a la función de $e^{2\pi i xy}$ (pero tal vez no exactamente, ver más abajo).

3. A continuación, tomar el producto tensor $p_1^\ast \mathcal{F} \otimes \mathcal{P}$. Esto es análogo a la función $F(x,y) e^{2\pi i xy}$ $=$ $f(x)e^{2\pi i xy}$.

4. Por último, empujar $p_1^\ast\mathcal{F} \otimes \mathcal{P}$ hacia abajo a lo largo de la proyección $p_2: X \times Y \to Y$. El resultado es la transformada de Fourier-Mukai transformación de $\mathcal{F}$ --- es $p_{2,\ast} (p_1^\ast \mathcal{F} \otimes \mathcal{P})$. Este último pushforward paso puede ser pensado como "la integración a lo largo de la fibra" --- aquí la dirección de la fibra es el $X$ dirección. De manera análoga cosa en la clásica situación es $g(y) = \int f(x)e^{2\pi i xy}dx$ --- la transformada de Fourier de $f(x)$!

Pero para hacer todo esto realmente funciona, tenemos que utilizar la derivada pushforward, no sólo el pushforward. Y por eso tenemos que trabajar con las categorías derivadas.

Al $X$ es un abelian variedad, $Y$ es el doble abelian variedad, y $\mathcal{P}$ es el llamado de Poincaré de la línea de paquete en la $X \times Y$, entonces la transformada de Fourier-Mukai transformar da una equivalencia de la que se derivan categoría coherente de las poleas en $X$ con la derivada de la categoría coherente de las poleas en $Y$. Creo que esto fue demostrado por Mukai. Creo que se supone que esta es análoga a la declaración que hizo sobre el clásico de la transformada de Fourier de ser invertible. En otras palabras, creo que la de Poincaré de la línea de paquete es realmente supone ser análoga a la función $e^{2\pi i xy}$. Más general de la elección de $\mathcal{P}$ corresponde a, en la clásica situación, los llamados transformadas integrales, que han sido previamente discutidas aquí. Esta es probablemente la razón por la $\mathcal{P}$ se llama la integral del núcleo. Usted también podría estar interesado en leer acerca de Pontryagin la dualidad, que es una versión de la transformada de Fourier para localmente compacto abelian topológicos, grupos --- esta es, obviamente, muy similares, al menos superficialmente, a Mukai del resultado sobre abelian variedades. Sin embargo, yo no sé lo suficiente como para decir nada más que eso.

Hay algo de fresco teoremas de Orlov, he olvidado las instrucciones precisas (pero usted probablemente puede encontrar fácilmente en cualquiera de los libros sugeridos por el momento), que decir que, en ciertos casos, de cualquier derivado de la equivalencia inducida por una de Fourier-Mukai transformar. Tenga en cuenta que el recíproco no es cierto: algunos al azar de Fourier-Mukai de transformación (es decir, de una elección al azar de la gavilla $\mathcal{P}$) probablemente no sea un derivado de equivalencia.

Creo que Huybrechts libro "transformadas de Fourier-Mukai en la geometría algebraica" es un buen libro para mirar.

Edit: espero que esto le da una mejor idea de lo que está pasando, aunque tengo que admitir que yo no sé de ningún buena heurística idea detrás de, por ejemplo, Mukai del resultado --- es análoga a la transformada de Fourier y a la dualidad de Pontryagin, y por lo tanto supongo que podemos aplicar cualquier heurística de las ideas que tenemos acerca de la transformada de Fourier la transformada de Fourier-Mukai transformar --- pero yo no sé de ningún heurística de ideas que explican las transformadas de Fourier-Mukai transformar en una forma directa, sin recurrir a ningún analogías con cosas que están fuera de la geometría algebraica adecuada. Esperemos que alguien puede decir algo sobre eso.

Pero --- sin duda hay algo en lo profundo pasando. Como CommRing se comporta mucho al igual que el Conjunto^{de la op}, creo que lo que hay es probablemente algún tipo de fenómeno general que haces (o vector de paquetes) se comportan de una gran cantidad de funciones similares, que es lo que sucede aquí. La retirada de las poleas se comportan mucho como la retirada de las funciones... Pushforward de las poleas se comportan mucho como la integración de funciones de... producto Tensor de poleas se comportan mucho como la multiplicación de funciones...

Answer 2

Sólo un complemento a la respuesta de Kevin Lin.

Hay un caso en el que la analogía entre las poleas y funciones es más que la analogía : el caso de las variedades de más de campo finito. Más precisamente, si X es una variedad más de F_p y F es un l-ádico edificable gavilla en X, se puede asociar a F una función (en un conjunto teórico sentido) sobre el conjunto de F_p puntos de X mediante la asignación de x para el seguimiento de la Frobenius que actúan sobre la fibra de F en x. Esto define un correspondace gavilla-función compatible con todas las analogías citado por Kevin.

Si fijamos un personaje de F_p entonces uno tiene la costumbre de transformada de Fourier para funciones de más de F_p. Uno puede pedir un análogo de la l-ádico poleas sobre el espacio afín A. Que existe, es la de Fourier-Deligne transformar. El hecho de que la función asociada a la de Fourier-Deligne transformar una gavilla es el (como es habitual) La transformada de Fourier de la función asociada a la gavilla es una consecuencia de la Grothendieck traza de la fórmula.

De hecho, la transformada de Fourier-Deligne transformación es una de Fourier-Mukai transformación para la derivada de la categoría de l-ádico edificable gavilla en Una ! Ok, cuando se habla de Fourier-Mukai, un pensar complejo algebraicas, geométricas y categorías coherente de las poleas, pero creo que para tener el de arriba situación en la que tenemos realmente una gavilla/la función del diccionario en la mente puede ser útil. Este diccionario fue uno de la motivación para la formulación de la geometría Langlands programa (ver algunos de exposición de los artículos de Frenkel, por ejemplo).

Answer 3

Es posible que desee mirar a Tom Bridgeland la tesis de Doctorado.

Answer 4

Las siguientes preguntas pueden ser útiles:

• Transformadas de Fourier-Mukai transformar - un primer ejemplo
• La intuición por la Integral se Transforma
• La transformada de Fourier para dummies

La última tiene mi esbozo de una respuesta en la que voy a publicar aquí una vez se pone mejor.

Answer 5

En la segunda Kevin sugerencia de Huybrechts libro, pero si quieres mirar algo más corto primero yo recomiendo las notas por Hille y van den Bergh.