¿Por qué se llama $\mathbb{R} P^n$ espacio proyectivo?

Question

Yo sé que:

Si se define una relación de equivalencia en $\mathbb{R}^{n+1}-\{0\}$ por $$x\sim y \iff y=tx$$ for some nonzero real number $t$, where $x,y\in\mathbb{R}^{n+1}-\{0\}$, Then The real projective space $\mathbb{R} P^n$ is the quotient space of $\mathbb{R}^{n+1}-\{0\}$ por esta relación de equivalencia.

Geométricamente, dos distinto de cero puntos en $\mathbb{R}^{n+1}$ son equivalentes si y sólo si se encuentran en la misma línea que pasa por el origen, por lo $\mathbb{R} P^n$ puede ser interpretado como el conjunto de todas las líneas a través de la procedencia en $\mathbb{R}^{n+1}$. Cada línea que pasa por el origen en $\mathbb{R}^{n+1}$ cumple con la unidad de la esfera de $S^n$ en un par de antipodal puntos, y por el contrario, un par de antipodal puntos en $S^n$ determina una única línea a través del origen (Figura). Esto sugiere que debemos definir una relación de equivalencia $\sim$ $S^n$ mediante la identificación de antipodal puntos:

$$x\sim y \iff x=\pm y $$

Tenemos entonces un bijection $\mathbb{R} P^n \leftrightarrow S^n/\sim$.

Ahora mi pregunta es:

¿Por qué es $\mathbb{R} P^n$ llamado proyectiva del espacio? Lo que se proyecta y cómo? Hay otra forma de definir el espacio proyectivo, de modo que en el que la proyección es visible?

Gracias de antemano.

Answer 1

El término se origina con una construcción diferente del espacio que las que hemos outlind. Es decir, esta es la construcción que "la suma puntos en el infinito". Brevemente, podemos añadir puntos a $\mathbb{R}^n$ que corresponden a los lápices de líneas paralelas en $\mathbb{R}^n$. La imagen intuitiva es la de un "horizonte" que se agrega a una perspectiva de dibujo. El origen del término "proyectiva" es que en 3 dimensiones cifras se proyecta una imagen de 2 dimensiones. Para un dibujo de aspecto realista, los artistas tuvieron que desarrollar reglas precisas para tratar con las perspectivas. Estas reglas con el tiempo fueron formalizados en la construcción de la proyectiva del plano (o, más en general, el espacio) mediante la adición de puntos en el infinito. La equivalencia de las tres construcciones se demostró en todos los estándar de geometría proyectiva de los libros de texto.