¿Cómo resolver la siguiente ecuación diferencial separable: y ' y = y + 1?

Question

Apenas comencé a aprender sobre ecuaciones diferenciales y encontró siguiendo la ecuación: $$ y'y = y +1 $ $

Alfa Wolfram proporciona la siguiente explicación: aquí

Pero no estoy seguro de cómo se realiza la integración. ¿Qué reglas se utilizan? ¿Cómo se hace $\int{\frac{y'y}{y+1}dx}$ $-\log(y + 1) + y$?

Answer 1

Usan la substitución, es decir, que $y'dx = dy$, así que usted puede reescribir $$ \int\frac{y'y}{y+1}dx = \int\frac{y}{y+1} dy = \int\left (\frac {-1} {y + 1} + 1\right) dy $$ usando esta sustitución para resolver una ecuación diferencial se llama "solución por la separación", y una ecuación donde esto es posible hacerlo se llama "ecuación separable". El requisito general para una ecuación separable es que se puede obtener la ecuación a la forma $f(y)y' = g(x)$, que se convierte en $\int f(y) dy = \int g(x)dx$.

Answer 2

Tenga en cuenta que Wolfram Alpha es malo. El correcto valor real de las soluciones se $x = y - \ln|y+1| + c$ para algunas constantes $c$ o $y = -1$. La razón por la que se perdió el último es que la técnica de variables separables (equivalente a la sustitución de la regla) es aplicado erróneamente. Uno sólo puede llevar a cabo la solución en $y \ne -1$. Entonces uno necesita comprobar que las regiones de la solución no toque $y = -1$ y por lo tanto no hay ninguna bifurcación. Ver este post para ver un ejemplo con la bifurcación. En general Wolfram Alpha siempre se da este tipo de ecuación diferencial mal, aunque podría decirse que en el mundo real las funciones son lo suficientemente suaves y por lo que el extraño soluciones nunca son físicos.

Aquí está la solución adecuada: $\def\lfrac#1#2{{\large\frac{#1}{#2}}}$

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Tomar cualquier variables $x,y$ tal que $\lfrac{dy}{dx} y = y+1$.

Deje $D$ ser cualquier subconjunto abierto de la curva definida por $(x,y)$ que no cruzan la línea definida por $y+1=0$.

A continuación,$\lfrac{dy}{dx} \lfrac{y}{y+1} = 1$$D$.

Por lo tanto $\int \lfrac{dy}{dx} \lfrac{y}{y+1}\ dx = \int 1\ dx = x+k$$D$, para algunas constantes $k$.

También se $\int \lfrac{y}{y+1} \lfrac{dy}{dx}\ dx = \int \lfrac{y}{y+1}\ dy$$D$, debido a $\lfrac{y}{y+1}$ es continua en a $D$.

Y $\int \lfrac{y}{y+1}\ dy = \int (1-\lfrac{1}{y+1})\ dy = y-\ln|y+1| + m$$D$, para algunas constantes $m$.

Por lo tanto $x = y-\ln|y+1| + c$$D$, para algunas constantes $c$.

Tenga en cuenta que$x = y-\ln|y+1|+c \to \infty$$y \to -1$, y por lo tanto la solución anterior en $D$ no puede ser extendido a cualquier solución que incluye un punto sobre la línea definida por $y=-1$.

Así, no hay ninguna bifurcación.

También tenga en cuenta que si $y = -1$ en cualquier punto, a continuación, $\lfrac{dy}{dx} = 0$ y, por tanto, $y$ es constante.

Por lo tanto la única solución es $y = -1$.

Answer 3

$$\frac{dy}{dx}y=y+1$$ $$\int\frac{y}{y+1}dy=\int dx$$ $$\int1-\frac{1}{y+1}dy=\int dx$$ $$y-\log(y+1)=x+c$$

Answer 4

$$\int\dfrac y{y+1}\cdot\dfrac{dy}{dx}\cdot dx=\int\dfrac{(y+1-1)}{y+1}dy=?$$