Extensiones cíclicas reales de $\mathbb Q$ de un grado determinado

Question

Un viejo problema cualitativo nos pide

Demuestre que para cada entero positivo $n$ existe una extensión cíclica de $\mathbb{Q}$ de grado $n$ que se encuentra en $\mathbb{R}$ .

Un primer pensamiento podría ser hacia la teoría de Kummer: podríamos adjuntar un $n^\text{th}$ raíz de, por ejemplo, un número primo. Pero cuando $n>2$ , $\mathbb{Q}$ carece de la cohorte completa de raíces de la unidad que haría que esto funcionara. Si $n$ es una potencia de $2$ podemos obtener lo que queremos uniendo ( $\mathbb{Q}$ -independientes linealmente) raíces cuadradas a $\mathbb{Q}$ y creo que algunos _casus irreducibilis_ las cosas se pueden hacer en otros grados ( al menos $n=3$ y $n=5$ ) sino una más general $n$ me tiene perplejo.

¿Podría recibir un empujón en la dirección correcta sobre este problema?

Answer 1

Esta solución utiliza la pista proporcionada por Mariano Suárez-Alvarez.

Fijar un número entero positivo $n$ y utilizar Teorema de Dirichlet sobre las progresiones aritméticas para seleccionar un primo $p$ con la propiedad de que $p\equiv 1(\text{mod } 2n)$ . Sea $\zeta_p$ sea una primitiva $p^\text{th}$ raíz de la unidad, por lo que $K=\mathbb{Q}(\zeta_p)$ es una extensión de Galois con grupo de Galois $G=(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\cong \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$ . Obsérvese que la conjugación compleja $\sigma\colon K\to K$ es un $\mathbb{Q}$ -automorfismo de $K$ Así que $G$ tiene un subgrupo de orden dos $H\leq G$ generado por $\sigma$ . Dejamos que $E\subset K$ sea el subcampo fijo de $H$ . Observe que $E\subset \mathbb{R}$ ya que ningún elemento no real de $K$ se fija por conjugación. Además, como $G$ es abeliana, $H$ es un subgrupo normal, por lo que $E/\mathbb{Q}$ es Galois y \begin{equation} G':=\text{Gal}(E/\mathbb{Q}) = G/H. \end{equation} Porque $G$ es cíclico, también lo es este cociente. Ahora $|G'|=(p-1)/2$ es divisible por $n$ y, por tanto, contiene un subgrupo $H'\leq G'$ del índice $n$ (necesariamente normal, ya que $G'$ es abeliana). Finalmente dejamos que $F\subset E$ sea el campo fijo de $H'$ y tienen \begin{equation} \text{Gal}(F/\mathbb{Q}) = G'/H' \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}. \end{equation} Gracias a Mariano por la pista, y a Watson por enlazar con esta respuesta tan útil .

Answer 2

Primero descomponer $n$ en un producto de potencias primarias, digamos $n= p_1 ^{r_1}...p_m ^{r_m}$ . Entonces el grupo cíclico (aditivo) $\mathbf Z/n\mathbf Z$ es isomorfo al producto directo de los grupos cíclicos $\mathbf Z/p_i ^{r_i}\mathbf Z$ por lo que basta con tratar el caso particular $n=p ^{r}$ , donde $p$ es un primo. Por conveniencia, ponga $q=p$ si $p$ es impar, $4$ si $p=2$ e introducir el campo ciclotómico $F_r=\mathbf Q(\zeta_{qp^r})$ para $r\ge 0$ . Desde $Gal(F_r/\mathbf Q) \cong (\mathbf Z/qp^r \mathbf Z)^{*} \cong (\mathbf Z/q \mathbf Z)^{*} \times (\mathbf Z/p^r \mathbf Z)$ el subcampo $\mathbf B_r$ arreglado por $(\mathbf Z/q \mathbf Z)^{*}$ es cíclico de grado $p^r$ en $\mathbf Q = \mathbf B_0$ .

Tenga en cuenta que el campo $\mathbf B_{cyc} :=\cup \mathbf B_r$ es infinito Galois por encima de $\mathbf Q$ con grupo de Galois isomorfo a $\mathbf Z_p $ el grupo aditivo del anillo de $p$ -enteros de tipo anódico. Una extensión con tal grupo de Galois se llama $\mathbf Z_p $ -extensión en (la parte algebraica de) la teoría de Iwasawa, véase, por ejemplo, "Introduction cyclotomic fields" de Washington, capítulo 13. Cualquier campo numérico $K$ admite una $\mathbf Z_p $ -que es $K.\mathbf B_{cyc}$ . La célebre conjetura de Leopoldt afirma que $K$ admite exactamente $(1+r_2)$ "independiente" (en un sentido obvio) $\mathbf Z_p $ -extensiones. Hasta ahora, sólo se ha demostrado para campos numéricos abelianos (teorema de Brumer).