Interpretación geométrica de $(\sum_{k=1}^n k)^2=\sum_{k=1}^n k^3$

Question

El uso de la inducción es recta hacia delante para mostrar $$\left(\sum_{k=1}^n k\right)^2=\sum_{k=1}^n k^3.$$ Pero hay también una interpretación geométrica que "prueba" de este hecho? Por solo mirar que estas fórmulas no veo por qué debería ser igual.

Answer 1

La prueba más clara que he visto es este, que viene de aquí: usted sólo tiene que mirar fijamente por un par de segundos para ver cómo funciona. (Es una variante de la de otras pruebas, por supuesto, pero en realidad tiene cubos).

Answer 2

No es esta imagen. Aquí, ellos representan a $x^3$ $x$ cuadrados de lado $x$. La gran plaza es la suma de todos los números hasta el $x$.

Answer 3

Esta identidad es a veces llamado Nicómaco del teorema. Si usted escribe esto en google, usted recibirá una multitud de imágenes.

1.

2.

3.

Answer 4

página 86 ,85
libro :la prueba sin palabras
autor : roger nelsen
usted puede encontrar aquí muchos en este tipo de prueba

Answer 5

Ingeniería estilo de fourier-enfoque. Usted no puede considerar que esto es muy intuitiva "geométrica", pero pensé que podría ser interesante, sin embargo.

Considerar el tiempo de la señal de $[1,2,...,k]$ (Una función lineal o "triángulo de onda"). El lado izquierdo es el cuadrado de la componente DC de la señal en el temporal/espacial de dominio que es sencillo de calcular. El lado derecho es la iterada de convolución de la transformada de fourier de [1,2,3,...,k] tres veces y, a continuación, componente DC de eso.