Verificar la identidad: $\tan^{-1} x +\tan^{-1} (1/x) = \pi /2$

Question

Verificar la identidad: $\tan^{-1} x + \tan^{-1} (1/x) = \frac\pi 2, x > 0$

$$\alpha= \tan^{-1} x$$

$$\beta = \tan^{-1} (1/x)$$

$$\tan \alpha = x$$

$$\tan \beta = 1/x$$

$$\tan^{-1}[\tan(\alpha + \beta)]$$

$$ \tan^{-1}\left [{\tan\alpha + \tan\beta\over 1 - \tan\alpha \tan\beta} \right]$$

$$ \tan^{-1}\left [{x + 1/x\over 1-x/x} \right]$$

$$\tan^{-1}\left[{x + (1/x)\over 0} \right]$$

No puedo saber lo que estoy haciendo mal...

Answer 1

Sugerencia: Cuando quiere demostrar que algo suave es constante, uso de derivados.

Detalles: si f ' #% entonces $$ %#% = \frac 1 {1 + x ^ 2} + \frac 1 {1 + \left(\frac 1x\right) ^ 2} \times \left(-\frac{1}{x^2}\right) = 0 $ y $f(x) = \arctan x + \arctan\frac 1x$ en el intervalo $f(x) = f(1) = 2\arctan 1 = \frac\pi 2$.

El problema de su método es que la fórmula que utilizas es verdadera sólo cuando $$ \alpha, \beta, \alpha + \beta \neq \frac\pi 2 \mod \pi $$

Answer 2

Una prueba fácil, sobre todo gráfica: $\tan\alpha=x$, $\tan\beta=\frac1x$ y $\alpha+\beta=\frac\pi2$.

La razón por la que una división por cero en el argumento de arctan es que $\displaystyle\lim_{\varphi\to\frac\pi2}\tan\varphi=\pm\infty\approx\tfrac10$. Misma notación informal, se podría decir que $\tan^{-1}(\infty)=\tfrac\pi2$, y que su cálculo en forma de sentido.

Answer 3

Básicamente está tratando de calcular $\tan(\pi/2)$, que no existe.

Si se establece $\beta=\arctan(1/x)$, entonces el $\tan\beta=1/x$, que es $$ x=\cot\beta=\tan\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right) $$ por lo tanto $$ \arctan x = \arctan\tan\left (\frac {\pi} {2}-\beta\right) = \frac {\pi} {2}-\beta $$ por la hipótesis de que $x>0$, así que $0<\arctan(1/x)<\pi/2$.

Answer 4

Asumir $x>0$, entonces

\begin{align}&\tan^{-1} x +\tan^{-1} \dfrac1x \\\\=&\tan^{-1} x +\tan^{-1}\dfrac1{\tan\tan^{-1} x} \\\\=&\tan^{-1} x +\tan^{-1}\cot \tan^{-1} x \\\\=&\tan^{-1} x +\tan^{-1}\tan(\dfrac{\pi}2- \tan^{-1}x) \\\\=&\tan^{-1} x +\dfrac{\pi}2- \tan^{-1}x\qquad\qquad\qquad \left(\because\text{for %#%#%,}\;\dfrac{\pi}2- \tan^{-1}x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)\right) \\\\=&\dfrac{\pi}2. \end {Alinee el}

Answer 5

También se pueden usar números complejos: estamos multiplicando dos números complejos con el argumento de $\frac{1}{x}$ y $x$.

Por lo tanto, deseamos mostrar que $\arg((1 + ix)(x + i)) = \frac{\pi}{2}$

Ampliamos el producto para obtener $(x^2 + 1)i$--puesto que no hay ninguna parte real y parte imaginaria es $> 0$, el argumento es $\frac{\pi}{2}$