Convergencia de L1 da pointwise convergente subsequence

Question

He estado leyendo Terry Tao notas sobre el Análisis Real y hay una parte que dice, pero en realidad no se explicar, así que me estoy preguntando si alguien de aquí lo haría. Las notas son http://terrytao.wordpress.com/2010/10/02/245a-notes-4-modes-of-convergence/ y mi pregunta en concreto es de la Sección 4, Corolario 3. Se va como sigue,

Deje $f_n \rightarrow f$ $L^1$ entonces existe un sub secuencia $(f_{n_j}) \subset (f_n)$ tal que $f_{n_j} \rightarrow f$ pointwise una.e. Por otra parte $(f_{n_j})$ converge casi uniformemente a $f$.

La prueba de que él da es simplemente que desde $||f_n-f||_1 \rightarrow 0$ $n \rightarrow \infty$ podemos elegir un sub secuencia tal que $||f_{n_j}-f||_1<2^{-j}$ que es suficiente para mostrar pointwise una.e y casi convergencia uniforme. Pero, ¿qué permite seleccionar un sub secuencia es tal vez algunos de Cauchy de la propiedad o es alguna extraña construcción? Entonces, ¿cómo usted va al pointwise una.correo e incluso casi la convergencia uniforme. Estoy asumiendo que para casi uniforme, hacer algo similar a Egorova del teorema sin la suposición de que el dominio de $f$ tiene medida finita. También soy consciente de que si usted consigue casi uniforme, que inmediatamente han pointwise una.e, pero me gustaría ver cómo llegar a tanto. Gracias.

Answer 1

Elija $N_{k}$ tal que $N_{1} \le N_{2} \le N_{3} \le \cdots$ que $\|f_{m}-f_{n}\| < 1/2^{k}$ siempre $m, n \ge N_{k}$. Esto es posible debido a $\{ f_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ es una secuencia de Cauchy. A continuación, $\{ f_{N_{k}}\}_{k=1}^{\infty}$ es una larga tal que $\|f_{N_{l}}-f_{N_{m}}\| < 1/2^{k}$ siempre $l,m \ge k$. Entonces $$ f_{N_{m}}=f_{N_{1}}+\sum_{i=1}^{m}f_{N_{l+1}}-f_{N_{l}} $$ converge pointwise una.e. absolutamente, porque $$ g_{m}=|f_{N_{1}}| + \sum_{i=1}^{m}|f_{N_{l+1}}-f_{N_{l}}| $$ converge pointwise una.e. a la extensión de la función real $0 \le g \le \infty$ de manera tal que, por el teorema de convergencia monótona, $$ \int g\,d\mu = \int |f_{N_{1}}|d\mu+\sum_{i=1}^{\infty}\int |f_{N_{l+1}}-f_{N_{l}}|d\mu = \|f_{N_{1}}\|+\sum_{i=1}^{\infty}\|f_{N_{l+1}}-f_{N_{l}}\| < \infty. $$ Por lo $g < \infty$.e., lo que significa que $\lim_{l}f_{N_{l}}$ converge pointwise una.e.. a $L^{1}$ función.