Cohomología del plano afín con doble origen

Question

Cómo calcular la cohomología $H^1(X,O_X)$ , $H^2(X,O_X)$ $H^1(X,O_X^*)$ de plano afín con doble origen $X= \mathbb {A}^2 \cup_ { \mathbb {A}^2-\{0\}} \mathbb {A}^2$ ? Para usar la cohomología de Cech, no puedo encontrar una cubierta cuya intersección tenga una cubierta trivial. ¿Tal vez hay otras formas?

Answer 1

Primero, calcula la cohomología del plano sin el origen $\mathbb{A}^2\setminus\{0\}$ . Para ello, puede utilizar Mayer Vietoris con respecto a la cobertura $\mathbb{A}^2=\mathbb{A}^2_x\cup\mathbb{A}^2_y$ . Se obtienen secuencias exactas $$0\to H^0(\mathbb{A}^2\setminus\{0\},\mathcal{O})\xrightarrow{} H^0(\mathbb{A}^2_x,\mathcal{O})\oplus H^0(\mathbb{A}^2_y,\mathcal{O})\xrightarrow{\alpha} H^0(\mathbb{A}^2_{xy},\mathcal{O})\xrightarrow{} H^1(\mathbb{A}^2\setminus\{0\},\mathcal{O})\to 0$$ $$0\to H^0(\mathbb{A}^2\setminus\{0\},\mathcal{O})\xrightarrow{} k[x,y]_x\oplus k[x,y]_y\xrightarrow{\alpha} k[x,y]_{xy}\xrightarrow{} H^1(\mathbb{A}^2\setminus\{0\},\mathcal{O})\to 0$$ $$0\to H^2(\mathbb{A}^2\setminus\{0\},\mathcal{O})\to 0$$ Desde $\alpha(f,g)=g-f$ , lo consigues $H^q(\mathbb{A}^2\setminus\{0\},\mathcal{O})$ es $k[x,y]$ para $q=0$ , $\mathrm{Span}_k\{x^{-i}y^{-j}\}_{i,j>0}$ para $q=1$ y $0$ de lo contrario. Del mismo modo, se tiene una secuencia exacta $$1\to H^0(\mathbb{A}^2\setminus\{0\},\mathcal{O}^*)\to H^0(\mathbb{A}^2_x,\mathcal{O}^*)\oplus H^0(\mathbb{A}^2_y,\mathcal{O}^*)\xrightarrow{\beta} H^0(\mathbb{A}^2_{xy},\mathcal{O}^*)\to H^1(\mathbb{A}^2\setminus\{0\},\mathcal{O}^*)\to 1$$ $$1\to H^0(\mathbb{A}^2\setminus\{0\},\mathcal{O}^*)\to \bigsqcup_{i\in\mathbb{Z}} k^*x^i\oplus\bigsqcup_{j\in\mathbb{Z}} k^*y^j\xrightarrow{\beta} \bigsqcup_{i,j\in\mathbb{Z}} k^*x^iy^j\to H^1(\mathbb{A}^2\setminus\{0\},\mathcal{O}^*)\to 1$$ De hecho, $H^1(\mathbb{A}^2_x,\mathcal{O}^*)=H^1(\mathbb{A}^2_y,\mathcal{O}^*)=1$ desde $k[x,y]_x$ es un UFD. Como $\beta(f,g)=g/f$ , usted tiene $H^0(\mathbb{A}^2\setminus\{0\},\mathcal{O}^*)=k^*$ y $H^1(\mathbb{A}^2\setminus\{0\},\mathcal{O}^*)=1$ .

Ahora usa a Mayer Vietoris en otra ocasión: $$0\to H^0(X,\mathcal{O})\to H^0(\mathbb{A}^2,\mathcal{O})\oplus H^0(\mathbb{A}^2,\mathcal{O})\xrightarrow{\alpha} H^0(\mathbb{A}^2\setminus\{0\},\mathcal{O})\to H^1(X,\mathcal{O})\to 0$$ $$0\to H^0(X,\mathcal{O})\to k[x,y]\oplus k[x,y]\xrightarrow{\alpha} k[x,y]\to H^1(X,\mathcal{O})\to 0$$ $$0\to H^1(\mathbb{A}^2\setminus\{0\})=\mathrm{Span}_k\{x^{-i}y^{-j}\}_{i,j>0}\to H^2(X,\mathcal{O})\to 0$$ $$1\to H^0(X,\mathcal{O}^*)\to H^0(\mathbb{A}^2,\mathcal{O}^*)\oplus H^0(\mathbb{A}^2,\mathcal{O}^*)\xrightarrow{\beta} H^0(\mathbb{A}^2\setminus\{0\},\mathcal{O}^*)\to H^1(X,\mathcal{O}^*)\to 1$$ $$1\to H^0(X,\mathcal{O}^*)\to k^*\oplus k^*\xrightarrow{\beta} k^*\to H^1(X,\mathcal{O}^*)\to 1$$ De hecho, $H^1(\mathbb{A}^2,\mathcal{O}^*)=1$ desde $k[x,y]$ es un UFD.

Como antes, $\alpha(f,g)=g-f$ Por lo tanto $H^0(X,\mathcal{O})=k[x,y]$ , $H^1(X,\mathcal{O})=0$ y $H^2(X,\mathcal{O})=\mathrm{Span}_k\{x^{-i}y^{-j}\}_{i,j>0}$ . De la misma manera, $\beta(f,g)=g/f$ Por lo tanto $H^0(X,\mathcal{O}^*)=k^*$ y $H^1(X,\mathcal{O}^*)=1$ .