Cómo resolver la ecuación funcional $f\left(x^2+f(y)\right)=y+f(x)^2$

Question

Cómo resolver la siguiente ecuación funcional:

Encontrar todo $f:\mathbb {R} \to\mathbb {R} $ que: $ f\left (x ^ 2 + f (y) \right) = y + f (x) ^ 2 $$ tiene cada $x,y\in\mathbb{R}$.

Un amigo me lo dio, probablemente su una pregunta de la Olimpiada.

Comencé con la ecuación de $f(f(y))=y+f(0)^2$ que parece ser muy útil, pero no pude hacerlo con eficacia. ¿Cómo resolver correctamente?

Answer 1

Este problema es de la OMI 92.

Deje $P(x,y)$ ser la afirmación de $f\left(x^2+f(y)\right)=y+f(x)^2$. Entonces: $$ P(0,y): espacio\f(f(y))=y+f(0)^2 $$ Así tenemos a $f\left(f\left(x^2+f(y)\right)\right)=f\left(y+f(x)^2\right) \iff x^2+f(y)+f(0)^2=f\left(y+f(x)^2\right)$. Deje $Q(x,y)$ ser esta afirmación. Además, $P(0,y)$ implica, que $f$ es bijective. Por lo tanto, vamos a $a\in\mathbb R$, del que el $f(a)=0$. En consecuencia: $$ Q(a,a): espacio\a^2+f(0)^2=0\iff=f(0)=0 $$ Por lo tanto, $f(f(y))=y$. Ahora tenemos: $$ P(x,0): espacio\f(x^2)=f(x)^2\implica f(x)≥0 espacio\\forall x\in\mathbb{R_{≥0}}\\ P(-x,0): espacio\f(x^2)=f(-x)^2\implica f(-x)^2=f(x)^2\implica f(-x)=-f(x) espacio\\izquierdo(\text{$f(x)=f(-x)$ es imposible, porque $f$ es bijective.}\right)\\ P\left(x,f(y)\right): espacio\f\left(x^2+y\right)=f(y)+f(x)^2=f(y)+f(x^2)\implica f(y+z)=f(y)+f(z)\forall y\in\mathbb R, z\in\mathbb{R_{≥0}} $$ Ahora, calculamos $f(y-z)$$y\in\mathbb R, z\in\mathbb{R_{≥0}}$: $$ f(y-z)=-f(-y+z)=-f(-y)-f(z)=f(y)+f(-z) $$ Por lo tanto, tenemos $f(y+z)=f(y)+f(z)\space\forall y,z\in\mathbb R$. Pero tenemos $f(x)≥0\space\forall x\in\mathbb{R_{≥0}}$, lo $f$ no pone denso, y por Cauchy, tenemos que $f(x)=cx$ para algunas constante real $c$. Sustituyendo esto en la ecuación original, podemos ver que $c=1$ e lo $f(x)=x$ es la única solución.

Answer 2

Aquí está una elemental forma de mostrar que la $ f=1_\mathbb R$

Reivindicación 1: $f$ es una función impar.

Si sustituimos $x=y=0$ en la ecuación dada, entonces obtenemos $$f(f(0))=(f(0))^{2}.$$ Luego nos sustituto $x=0$ en la ecuación dada y averiguar que $\forall y \in \Bbb R$, $$f(f(y))=y+(f(0))^{2}.$$ Now, we observe that, for all $x,y \in \Bbb R$, $$y+(f(x))^{2}=f(x^{2}+f(y))=f((-x)^{2}+f(y))=y+(f(-x))^{2}.$$ Por lo tanto $\forall x \in \Bbb R,$ $$f(-x)=f(x) \space \space or \space \space f(-x)=-f(x).$$ Pero, si por alguna $x \in \Bbb R$, $f(-x)=f(x)$, a continuación, se habría, $$x+(f(y))^{2}=f(y^{2}+f(x))=f(y^{2}+f(-x))=-x+(f(y))^{2}$$ for any $y \en \Bbb R$ implying $x=0$. So, for any $x \neq 0$, $f(-x)=-f(x).$
.Hence $f$ es una función impar.

Reivindicación 2: $f(x)>0$ si $x>0$ $f$ es cada vez mayor.

Tenga en cuenta que $f(x)\neq 0$ si $x\neq 0$. De hecho, si $f(x)=0$, luego $$0=f(0)=f(f(x))=x.$$ Furthermore, if $x>0$, then $f(x)>0$. Indeed, $f(x)=f(\sqrt{x}^2)=f(\sqrt{x})^2>0$.

De hecho, $f$ es cada vez mayor. Desde $f$ es impar, basta muestran un aumento en $(0,\infty)$. Bueno, si $x>y>0$, $$f(x)-f(y)=f(\sqrt{x}^2)+f(-y)=f(\sqrt x)^2+f(-y)=f(x+f(f(-y)))=f(x-y)>0.$$

Pero entonces, si $f(x) >x$, $x>f(f(x))>x$. Del mismo modo, si $f(x)<x$, $x=f(f(x))<f(x)<x$. Como estos es imposible, debemos tener $f(x)=x$ todos los $x$