Prueba de ángulo en un semicírculo es 90 grados

Question

Hay un teorema bien conocido indicado a menudo como el ángulo en un semicírculo de ser 90 grados. Para ser más preciso, cualquier triángulo con uno de sus lados es un diámetro y todos los vértices en el círculo tiene su ángulo opuesto el diámetro es 90 grados. La prueba estándar utiliza triángulos isósceles y vale la pena tener como respuesta, pero también es una prueba mucho más intuitiva así (esta prueba es más complicada aunque).

Answer 1

No estándar de la prueba

Considerar el semi-círculo con extremos a y C y el centro O y el ángulo inscrito ∠ABC (B en el semi-círculo), junto con la imagen de la rotación de ambos O O 180°. La imagen de Un es C, y viceversa; deje B' ser la imagen de B. La imagen de una línea de bajo de 180° de rotación es paralelo a la línea original, AB es paralelo a BC' y BC es paralelo a B A, así ABCB' es un paralelogramo. BO y su imagen debe ser paralelo, pero la imagen de S mismo, ya que es el centro de rotación, y si BO 'y B' son paralelas y que contienen un punto en común, que debe estar en la misma línea, así que BB' pasa a través de O. CA y BB' (las diagonales de ABCB') son los diámetros del círculo, de modo que son congruentes. Un paralelogramo con las diagonales congruentes es un rectángulo. Por lo tanto, ∠ABC es un ángulo recto (y tiene una medida de 90°).

Estándar de prueba (o, al menos, mi suposición en que se basa en la descripción de la pregunta)

Como en el anterior, considere el semi-círculo con extremos a y C y el centro O y el ángulo inscrito ∠ABC (B en el semi-círculo). Dibujar en el radio OB. OA = OB, entonces △AOB es isósceles y ∠OAB≅∠OBA. OB = OC, por lo que △BOC es isósceles y ∠OBC≅∠OCB. Vamos α=m∠OAB=m∠OBA y β=m∠OBC=m∠OCB. En △ABC, las medidas de los ángulos α, α+β, y β, entonces α+(α+β)+β=180° o 2(α+β)=180° o α+β=90°, por lo que ∠ABC tiene una medida de 90° y es un ángulo recto.

edit: Otro no estándar de la prueba

Utilizar el etiquetado como en el anterior y aplicar Stewart del Teorema a △ABC: $$(AB)^2(OC) + (BC)^2(AO) = (AC)((BO)^2 + (AO)(OC))$$ Substituting the length r of the radius of the semicircle as appropriate: $$(AB)^2r + (BC)^2r = 2r(r^2 + r^2)=4r^3$$ Dividing both sides by r: $$(AB)^2+(BC)^2=(2r)^2=(AC)^2$$ Así que, por el recíproco del Teorema de Pitágoras, ∠ABC es un ángulo recto.

Answer 2

Prueba de vectores muy cortos:

Centro del círculo en el origen y la escala que radio 1. Sea el vértice del triángulo derecho vector $v$ y que el diámetro sea el segmento del vector $w$ $-w$.

Entonces $(v-w) \cdot (v-(-w)) = (v-w) \cdot (v+w) = (v \cdot v) - (w \cdot w) = 1 - 1 = 0$, así el ángulo formado por $vw$ $v(-w)$ es un ángulo recto.

Answer 3

De hecho es un corolario del teorema en la que se declara que el ángulo subtendido en el centro del círculo (aquí 180 grados) es doble el ángulo subtendido en el centro. Si esto no es satisfactorio utilizar la contrapositive en cambio: Si el ángulo ABC es no de 90 grados, el ángulo AOB no puede ser 180 grados, es decir, A, O, B no son colineales.