Usted necesita tener mucho más cuidado de lo que el "superior" e "inferior" de los índices de denotar y de dónde provienen. Voy a hablar de los diferentes "tipos" de superior/inferior de los índices de usted están hablando acerca de:
Tensor de índices
La primera fuente de "objetos con índices" es la geometría diferencial. En cualquier coordinar parche $U\subset M$ de un colector $M$ con coordenadas $q : U \to \mathbb{R}^n$, las mismas coordenadas tradicionalmente se escribe con "superior" índices de $q^i$. En el colector, ahora hay dos estrechamente relacionados, pero diferentes objetos naturalmente queremos considerar: campos Vectoriales y formas diferenciales. Una manera de definir el espacio de la tangente en un punto de $q_0\in q(U)$ (correspondiente a un punto de $p\in U$ $q(p) = q_0$ es como el espacio vectorial generado por los derivados $\partial_i := \frac{\partial}{\partial q^i}\rvert_{q = q_0}$, cuyos índices son los que tradicionalmente se sitúa por debajo. El espacio cotangente es el doble de espacio vectorial generado por la base dual $\mathrm{d}q^i$ definido por $\mathrm{d}q^i (\partial_j) = \delta^i_j$.
Ahora, dado cualquier vector campo $V$, se puede expandir en la base como $V = v^i(q)\partial_i$ funciones $v^i$, donde el convenio de sumación es, en efecto, es decir, que la suma sobre todos los valores posibles de a $i$. Es el $v^i(q)$ que es lo que a físico se refiere como "vector". Bajo un cambio de coordenadas, estos componentes de la transformación de la matriz Jacobiana de la transformación de coordenadas. Por el contrario, podemos ampliar un diferencial de la forma como $\omega = \omega_i(q) \mathrm{d}q^i$, y es el $\omega^i$ que el físico llama habitualmente "la forma". Estas transformaciones por la inversa de la matriz Jacobiana. vectores y covectors, y de la misma manera diferencial las formas y los campos vectoriales son, a priori, cosas completamente diferentes y debe ser concebida como distintos conceptos geométricos.
Sin embargo, las aguas se confunden porque en la física a menudo estamos en un (pseudo-)de Riemann colector con un tensor métrico $g$ que define el llamado musical isomorphisms entre los vectores y covectors por la asociación de la 1-forma $g(v,-)$ a un campo de vectores $v$. Una vez en esta configuración, se puede cambiar libremente el tipo de los tensores y los originalmente distintos conceptos se convierten en totalmente equivalentes e intercambiables en la práctica los cálculos.
En este punto, me gustaría tomar el tema con una cierta parte de la pregunta:
Dos tipos de índices, covariante y contravariante, se introdujo en la teoría especial de la relatividad. Esto es como tengo entendido, es el único matemático de lujo de decir, escribir expresiones en una forma concisa, la auto-explicativo de la notación. Por ejemplo, en lugar de escribir la métrica como $(Δs)^2=c^2(Δt)^2−(Δr)^2$ uno puede escribir $x^μx_μ$ que no es sólo una notación compacta pero también nos dice que esta expresión es invariante Lorentz. Pero tanto en$x^μ$$x_μ$, representan los mismos objetos: un conjunto de cuatro coordenadas $(ct,x,y,z)$.
Aunque muy cerca de la uso en la práctica, esto es formalmente sólo no sensical, precisamente porque los objetos geométricos no son considerados adecuadamente. Si $x^\mu$ es un conjunto de coordenadas, entonces no hay tal cosa como $x_\mu$ - usted no puede bajar el índice de una coordenada porque no es un vector o tensor de campo, y por lo tanto el musical isomorfismo no es que se definen en ella. El tensor métrico codificados en $\mathrm{d} s^2$ (o $\Delta s$, ya que la pregunta se escribe) no actúa sobre las coordenadas, actúa sobre los vectores de tangentes. La "distancia" entre dos puntos está dada por el extremo de la funcional
$$ L[\gamma] = \int_\gamma \sqrt{g(\dot{\gamma},\dot{\gamma})}\mathrm{d}\tau$$
para los trazados $\gamma$ entre los dos puntos. Desde la más corta de las líneas, es decir, geodesics, en el espacio de Minkowski son líneas rectas, lo que ocurre es que en este caso especial, la expresión para la distancia entre las coordenadas de los puntos de $x^\mu$ $0$ está dado por actuar como si $x^\mu$ es un vector de computación y sus normas con el tensor métrico dado por la $\mathrm{d}s^2$ expresión. Hacerlo directamente, sin embargo, es formalmente incorrecto, porque no se puede aplicar una pseudo-métrica de Riemann directamente a los puntos en que la moda. Así que, en este caso, la cuestión es doblemente mal: no importa, en principio, donde los índices son colocados y ni siquiera puedes escribir algo como $x_\mu$ para un conjunto de coordenadas.
Grupo de índices
El uso de índices en la teoría de grupos es completamente diferente, y a priori no existe la noción de "superior" o "inferior" de los índices. Dado un grupo de $G$ y una representación $\rho : G \to \mathrm{GL}(V)$ de algún espacio vectorial $V$, se puede elegir, por supuesto, una base $v_i$ $V$ y escribir cualquier elemento del grupo como matriz $\rho(g)_{ij}$.
La noción de la parte superior e inferior de los índices entra aquí para los grupos donde todos o la mayoría de las representaciones irreducibles puede ser construido a partir del tensor de productos fundamentales de la representación: se declara vectores en el fundamental de la representación de los componentes con los índices de $v_i$ y los de la conjugado fundamental de la representación que tienen los componentes de la con $v^i$ (o viceversa) y, a continuación, uno puede escribir $T^{\mu_1\dots\mu_m}_{\nu_1\dots\nu_n}$ para denotar un elemento de $\bar{V}^{\otimes m}\otimes V^{\otimes n}$. Esta abreviatura es útil para entonces deducir que la combinación de los índices y sus (anti-)simetrización corresponden a representaciones irreducibles, ver, por ejemplo, esta respuesta.
De nuevo, la parte superior e inferior de los índices están relacionados, pero no denotan el mismo objeto, y que la señal de una transformación diferentes comportamientos en el grupo (fundamental vectores de transformación por $\rho(g)$ mientras que el anti-fundamental vectores de transformación por $\bar{\rho(g)}$), así como índices en el geométrica caso de la señal de transformación diferentes comportamientos en los cambios de coordenadas.
