En la Proposición 2.6.4 de su libro Automorphic Formas y Representaciones, Bump está tratando de probar que $SL_n(\mathbb{R})$ no tiene no trivial finito-dimensional unitario de representaciones. Su argumento es el siguiente:
Si $\rho$ es una representación en un número finito de dimensiones complejas espacio vectorial $V$, luego de identificación de $V$$\mathbb{C}^m$), entonces la imagen de a $\rho$ está contenida en el grupo compacto $U(m)$, por lo tanto es compacto. Por lo tanto, $SL_n(\mathbb{R})/\ker(\rho)$ es compacto, y dado que la única normal subgrupos de $SL_n(\mathbb{R})$ $\{I\}$, $SL_n(\mathbb{R})$, y $\{\pm I\}$ si $n$ es incluso, esto implica que $\rho$ es trivial.
Ahora me puede faltar algo, pero este argumento parece incompleta. ¿Por qué el hecho de que $U(m)$ es compacto implica que la imagen de $\rho$ es? Ciertamente, no es cierto en general que la imagen de un continuo homomorphism de una arbitraria grupo topológico $G_1$ a un grupo compacto $G_2$ es compacto. Por ejemplo, el mapa de $x\mapsto (e^{2\pi ix},e^{2\pi i\alpha x})$ es un continuo de incorporación de la línea real en el toro si $\alpha$ es irracional.
