Estoy tratando de resolver el siguiente problema de Ahlfors Compleja de Análisis en el Capítulo 5, Sección 2.3: Supongamos que $\{a_n\}$ es una secuencia de distintos números complejos tales que $a_n\to \infty$ y deje $\{c_n\}$ ser una secuencia arbitraria de números complejos. Mostrar que existe una función toda $f(z)$ satisfacción $f(a_n)=c_n$.
La sugerencia de que es en Ahlfors libro es dejar a $g(z)$ ser una función simple con ceros en cada una de las $a_n$. Dicha función existe por Weierstrass' Teorema. Entonces, la sugerencia se dice que mire para el adecuado $\gamma_n$ tales que la siguiente serie converge $$ \sum_1^\infty g(z)\frac{e^{\gamma_n(z-a_n)}}{z-a_n}\frac{c_n}{g'(a_n)}. $$
He estado jugando con esta por un tiempo. Sé que tengo que encontrar la $\gamma_n$, de modo que en cualquier bola compacta, $|z|\leq R$, los valores
$$ \left|g(z)\frac{e^{\gamma_n(z-a_n)}}{z-a_n}\frac{c_n}{g'(a_n)}\right| $$ están delimitadas por algunos de los valores de $M_n(R)$, de modo que para cada una de las $R>0$, la suma de $\sum M_n(R)$ converge. Si puedo hacer esto, entonces sé que la suma converge uniformemente en compactos de subconjuntos, y sé que la suma será una analítica de la función y, a continuación, está claro que tienen el derecho propiedades. Sin embargo, estoy teniendo dificultad para averiguar de qué se supone que debo elegir para $\gamma_n$. Traté de expresar $g$ como una serie de Taylor alrededor de cada una de las $a_n$ y, a continuación, para encontrar algún límite superior de los términos en la suma, que dependía sólo de $R$, pero no ha tenido suerte hasta ahora.
¿Alguien puede proporcionar un indicio acerca de cómo ir sobre la búsqueda de tales $\gamma_n$?
