encontrar constantes usando límites

Question

Supongamos que tenemos la función $f(x)$ que se define del siguiente modo: $$f(x):= \begin{cases} a+bx &\text{, if } x>2\\ 3 &\text{, if } x=2\\ b-ax^2 &\text{, if } x<2\end{cases}$$ (aquí $a,b$ son algunas constantes).

Deberíamos encontrar $a,b$ de modo que el límite para $x\to 2$ de $f(x)$ existe y es igual a $3$ . Creo que, debido a que el límite en el punto $2$ existe, significa que los límites izquierdo y derecho son iguales, por lo que después de evaluar los límites en el lado izquierdo y derecho, obtendremos $$a+2b=b-4a\mbox{ or }b=-5a.$$ También porque el límite es igual a $3$ en el punto $2$ significa que el límite izquierdo o derecho también es igual a $3$ Así que $a+2b=3$ poner uno en otro, tengo que $a=-1/3$ y $b=5/3$ . ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Sí, su razonamiento es correcto. Tenemos $$\lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^-}(b-ax^2)=b-4a,$$ $$\lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^+}(a+bx)=a+2b.$$ Por lo tanto, si $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=3$ tenemos $$\lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=3,$$ lo que implica que $$b-4a=a+2b=3.$$ Resolviendo estas ecuaciones lineales, obtenemos $a=-1/3$ y $b=5/3$ .

Una cosa más, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=3=f(2)$ significa que $f$ es continua en $2$ .