Puntos en el límite de un compacto conjunto de $K\subset\mathbb{R}^2$ accesible por un sendero en $K^c$

Question

Deje $K\subset\mathbb{R}^2$ ser compacto. Vamos a la ruta límite de $K$ denotar el conjunto de puntos en $z\in K$ tal que para algún punto de $w\in K^c$, hay un camino continuo $\gamma:[0,1]\to\mathbb{R}^2$ tal que

1. $\gamma(0)=w$.
2. $\gamma((0,1))\subset K^c$.
3. $\gamma(1)=z$.

Por supuesto, los límites del trazado de $K$ está contenida en el límite de $K$, y no es difícil encontrar un conjunto cuya ruta de acceso de límite es una estricta subconjunto de sus límites. Tomemos, por ejemplo, el bloque de $[-1,1]\times[-1,1]$, y eliminar los conjuntos de $\left\{(x,y):y>0,\dfrac{1}{n^2}<x<\dfrac{2}{n^2}\right\}$$n\geq2$. El conjunto resultante $K$ es compacto (countably muchas conjuntos se han quitado), y el conjunto $\{(0,y):0\leq y<1\}$ está contenida en el límite de $K$, pero no en los límites del trazado de $K$.

Mi pregunta es: ¿hay una buena caracterización de los conjuntos para los cuales el camino de la frontera es igual a la frontera? Incluso una caracterización para el caso en que ambos $K$ $K^c$ están conectados sería bienvenido.

Como un cuento con moraleja, he de decir que la respuesta no depende sólo de la suavidad de $\partial K$, ya que si $g:[0,1]\to[0,\infty)$ es cualquier función continua, entonces el camino límite del conjunto $K=\{(x,y):0\leq x\leq1,0\leq y\leq g(x)\}$ es igual al límite de $K$, y por supuesto esto $K$ puede tener bastante irregular límite.

PS: Si alguien tiene una mejor nombre de "ruta de acceso de frontera", siéntase libre de cambiar la pregunta.

Answer 1

Parece que el camino límite es más comúnmente conocido como el conjunto de puntos accesibles. Mientras que el límite es una de la curva de Jordan, es accesible (ya sea desde dentro o desde fuera). Esto se desprende de la Jordania-Schoenflies teorema, como se explica aquí o aquí.

Por el contrario, aquí es el Teorema 1 de la primer documento que hace referencia (se le atribuye a Schoenflies): Si F es un conjunto compacto en $\mathbb{R}^2$, precisamente, con dos regiones de tal manera que cada punto de F es accesible desde cada una de esas regiones, entonces F es una curva cerrada simple.

Answer 2

Una condición suficiente es local, de conexión, de $\partial K$.

La proposición: Supongamos $K \subset \Bbb R^2$ es compacto y conectado. Si $\partial K$ está conectado localmente, entonces cada punto en $\partial K$ está en el camino de la frontera de $K$. En particular, los dos conceptos coinciden.

Prueba: Supongamos que $K^c$ está conectado (esto resultará en ninguna pérdida de generalidad). Deje $\hat{\Bbb C}=\Bbb C \cup \{ \infty\}$ denotar la esfera de Riemann. A continuación, $U:=\hat{\Bbb C} \backslash K$ es simplemente conectado subconjunto de $\hat{\Bbb C}$. Por el Teorema 2.1 de este libro, existe un mapa de conformación $f$ $\Bbb U \to U$ que se extiende continuamente a un (surjective) mapa de $\partial \Bbb U \to \partial U=\partial K$. Ahora tome cualquier punto de $w \in \partial K$. Deje $z\in f^{-1}(\{w\})$. Considerar el camino de $\gamma$ definido por $\gamma(t):=f(zt)$. A continuación, $\gamma(0)=f(0) \in U$ $\gamma(1)=f(z)=w$ (podemos suponer sin pérdida de generalidad que $f(0)\neq \infty$). Por lo tanto $w$ se encuentra en los límites del trazado de $K$. $\Box$

Sin embargo, la conexión no es una condición necesaria. Por ejemplo, si definimos $K$ a ser el cierre de el conjunto de todos los puntos de $(x,y)$ que $0 \leq x \leq 1$$-2 \leq y \leq \sin(1/x)$, el límite y la ruta de acceso de límites coinciden aunque $\partial K$ no está conectado localmente. Sin embargo, te darás cuenta de que los puntos en $\partial K$ de la forma $(0,y)$ $0 \leq y \leq 1$ sólo son accesibles desde la "izquierda" y de la "derecha". Más formalmente, los puntos especiales en los límites del trazado si ve $K$ como un subconjunto de a $\Bbb R^2$ pero no se si verlo como un subconjunto de a $[0,\infty) \times \Bbb R$. Por tanto local, de conexión, todavía juega un papel importante en términos de la accesibilidad de los puntos.