$4$ matrimonios y $2$ solo hombres se sentarán en una mesa circular.

Question

$4$ de las parejas casadas y $2$ solo los hombres se sientan en una mesa circular. De cuántas maneras pueden sentarse de manera que un hombre no puede sentarse al lado de una mujer que no es su esposa?

He intentado pero no estoy seguro de que la siguiente respuesta :

En primer lugar, los esposos se sientan en la mesa circular, de los cuales las formas posibles es $3!$.

Las esposas deben sentarse junto a su marido, que sólo es $1$ manera.

Los dos hombres sólo puede ser puesto entre dos maridos sólo en $2$ formas y, a continuación, puede ser permutada en $2$ maneras. Por lo que el número de maneras es $4$.

Aplicando el principio de la multiplicación, el número total de maneras para que esta posibilidad se $3! \times 4$ = $24$.

La segunda posibilidad es similar lo que está haciendo que las esposas sentarse primero y poner cada esposo junto a su esposa y luego poner a los hombres solteros. El número total de maneras también es $24$.

Así que la respuesta es $24 + 24 = 48$.

Answer 1

Como cada mujer tiene dos vecinos, un modo de que una mujer no sentarse junto a un hombre que no es su marido es de la línea de marido$_1$ mujer$_1$ mujer$_2$ marido$_2$ dos veces. Entonces tenemos tres maneras a la par de las parejas y dos maneras de flip a cada pareja a la izquierda/a la derecha. Podríamos poner más a la izquierda de la pareja incluyendo marido en el asiento $1$ a romper la simetría rotacional. A continuación, hay tres grupos de asientos para el matrimonio de una pareja y un factor de dos para colocar los hombres solteros. Total $$3 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 2=72$$
La otra forma de tratar con las mujeres es colocar los cuatro juntos en un poco de orden, $4!$ formas y asiento de los esposos de la final queridos junto a ellos. Volvió a romper la simetría de los asientos a la izquierda de la mujer en el asiento $1$. Ahora usted puede organizar los otros cuatro hombres de cualquier manera que usted desea, otra de las $4!$ maneras, dando a $$4!^2=576$$ El total se $$72+576=648$$

Answer 2

Puedo obtener 648.

La mujer debe sentarse en dos pares de asientos contiguos, y si las parejas se separan, debe haber al menos dos intervenir posiciones (para los diferentes maridos) en cada dirección.

Esto lleva a tres distintos arreglos para las mujeres: 1-2-3-4, 1-2-5-6, 1-2-6-7. En el primer caso, dos hombres deben sentarse junto a su respecive esposas en las posiciones 5 y 10, mientras que los otros cuatro hombres se sientan en cualquier forma que elija en posiciones 6-7-8-9. Así, de 24×24 = 576 permutaciones. Para el segundo de la disposición de las mujeres, todos los cuatro maridos deben sentarse junto a sus esposas, dejando sólo los dos únicos hombres con cualquiera de libre elección. Por lo tanto 24 x 2 = 48 permutaciones.

La tercera mujer arreglo es complicado, de hecho tuve que editar mi respuesta porque tengo mal la primera vez. Si contamos las 24 permjtations para las mujeres y dos para los hombres solteros parece que 48. Pero debido a que las mujeres (y a sus maridos) están en un doble rotacionalmente simétricas arrangemet sólo la mitad de estos 48 son distintas. Por lo que realmente puede contar sólo 24 permutaciones para ir con los 576+48 de los otros casos. Total: 648.