Curiosa coincidencia en Tau (base 12) (23, 24, 25, 26, 27, 28, 18, 19, 31)

Question

Así que jugueteaba con el Tau en la base 12 y Mathematica (muy amateur), y en algún momento se inició la conversión de 5 mismo dígitos de la base de tiempo de 10 secuencias de base 12, y inputing estas secuencias en un archivo de Bloc de notas con 1,250,000 Tau decimales en base 12. Extrañamente, muchos de estos (>1/2) bastante raro secuencias suelen acabar sólo alrededor de 5.000 dígitos, y la mayoría de estos aún más cerca de 1.200.000th decimal. He aquí los datos:

X = 10
E = 11
sqs = secuencias

("más cercano a..." se calcula a partir del primer decimal el número hace aparición en)

• $11111_{10} = 651E_{12}$ - 68 sqs encontrado, más cerca de 1.200.000 en 1,201,556th decimal (67 es 1,189,183 rd),(esta es la secuencia más probable es que no sea importante - muy común).
• $22222_{10} = 10X3X_{12}$ - 4 sqs encontrado, más cerca de 1.200.000 en 698,601 st decimal.
• $33333_{10} = 17359_{12}$ - 4 sqs encontrado, más cerca de 1.200.000 en 1,197,845th decimal.
• $44444_{10} = 21878_{12}$ - 5 sqs encontrado, más cerca de 1.200.000 en 1,195,972nd decimal.
• $55555_{10} = 28197_{12}$ - 4 sqs encontrado, más cerca de 1.200.000 en 1,196,762nd decimal.
• $66666_{10} = 326E6_{12}$ - 3 sqs encontrado, más cerca de 1.200.000 en 1,188,745th decimal.
• $77777_{10} = 39015_{12}$ - 3 sqs encontrado, más cerca de 1.200.000 en 1,533,163 rd decimal (679,798 th).
• $88888_{10} = 43534_{12}$ - 4 sqs encontrado, más cerca de 1.200.000 en 1,066,571 st decimal.
• $99999_{10} = 49X53_{12}$ - 5 sqs encontrado, más cerca de 1.200.000 en 1,199,871st decimal.

Por supuesto, entonces me pregunto, ¿matemático explicación tiene esto? Seguramente debe haber alguna explicación, la coincidencia es demasiado grande. (Ahora voy a tratar de hacer lo contrario, convertir 5 de la misma dígito de las secuencias de la base de 12 a base 10 y la entrada en una Tau en base 10 de archivo. Podría haber algunas similitudes?)

edit: probé lo que he sugerido anteriormente, con un poco de suerte. Hubo algunas pequeñas curiosidades. Como 11111 = 22621 tenía 5 apariciones dentro de ~31,000 dígitos de 500.000, más cerca de ser 495,703, 496,433, 497,578 - y 495,703 fue compartida por XXXXX = 226210 (extra 0), pero que debe ser de 10% de probabilidad de que suceda, así que, muy menor curiosidad.

Sólo otro menor de edad no relacionados curiosidad que me llamó la atención fue el simétrico de un número "06X999X60", donde el medio "9" es el número decimal 3,330.

Para los mods: Sugerir y editar mis etiquetas, realmente no estoy seguro de lo que debe etiquetar esta (amateur).

Mira esto, si la suma de estos números juntos, casi el mismo patrón que surge aquí (en negrita las ecuaciones son los que estaban cerca de 1.200.000):

• $11111_{10} = 651E_{12}$ | 6+5+1+E= 23
• $22222_{10} = 10X3X_{12}$ | 1+0+X+3+X= 24
• $33333_{10} = 17359_{12}$ | 1+7+3+5+9= 25
• $44444_{10} = 21878_{12}$ | 2+1+8+7+8= 26
• $55555_{10} = 28197_{12}$ | 2+8+1+9+7= 27
• $66666_{10} = 326E6_{12}$ | 3+2+6+E+6= 28
• $77777_{10} = 39015_{12}$ | 3+9+0+1+5= 18 (¿por qué no 29?)
• $88888_{10} = 43534_{12}$ | 4+3+5+3+4= 19 (¿por qué no 30?)
• $99999_{10} = 49X53_{12}$ | 4+9+X+5+3= 31

¿Ves el patrón? 2 de los últimos números que no estaban cerca de la 1,200,000 th decimal no siga los pasos lógicos. Sólo 1 de ellos "10X3X" todavía siguió el patrón.

$ 23, 24, 25, 26, 27, 28, 18, 19, 31 $

¿No es un poco extraño que el único número "24" que "no siga" el "patrón", es el único número divisible por 12! :)

Ahora me siguen agregando "11111", y el más emocionante descubrimiento hasta ahora es la número $122221_{10} = 5X891_{12}$ hace su 13ª aparición en decimal 2,222,222 !

PS: me hizo hacer muchas más +11111, pero sin aparente patrón surgido. El próximo 9 números no se que cerca de 1.200.000 en general como el primer 9 (tho todavía tenía un cierto sesgo hacia ella). Pero en realidad, nada sugiere que los primeros 9 números, 0r el segundo eran más que un poco de suerte.

Tal vez voy a actualizar este post de vez en cuando con más interesantes coincidencias, si me encuentro con ellos, como con 122221 (mencionado anteriormente), el simétrico número 06X999X60, en el que el medio 9 se coloca en 3,330 th decimal, y los tres XXX (101010) donde la media de X es colocado en la parte superior de decimal 6,666.

Answer 1

Este es un comportamiento esperado. Se encontró que muchos (muy) cerca de las apariciones, sino también varios incomparablemente más alejados. La desviación estándar de las desviaciones de la lista es de aproximadamente 207300 y contando la media del cuadrado de la desviación de nuestro artificial punto de referencia de 1200000 que tenemos algo, aunque sea un poco más alto, aproximadamente 244943.

Estas cifras se comparan favorablemente con el inverso de la probabilidad esperada de ocurrencia de un patrón de concreto de 5 dígitos de la secuencia en un decimal aleatorio de la cadena, es decir, $10^5$. Nada sería fuera de lo normal aún si eran dos veces tan cerca de cada uno.

Para $\pi$ (y, en consecuencia, $τ$), se cree que los dígitos en cualquier base debe ser distribuido como completamente al azar los números, y a la luz de que los clústeres son una mera coincidencia que podría suceder, comparativamente con moderación, si se ha generado dígitos de un lanzamiento de la moneda. La magnitud de 12 millones con respecto al $10^5$ le parece bien dentro de "moderación", aunque yo no calcular que en más detalle.

Mientras que esto puede sonar decepcionante, por favor, no dejes que eso te desanime buscando inexplicables fenómenos en diferentes combinaciones de bases! Estás haciendo un gran trabajo y tal vez usted va a ayudar a refutar la conjetura. Muchas un gran descubrimiento comenzó con un "que es divertido...".

Answer 2

Segunda observación acerca de usted

=== más reciente respuesta después de algún pensamiento =====

Considerar en base 10, usted tiene el número de $1432= 1*10^3 + 4*10^2 + 3*10 + 2$ y se suman los dígitos $1 + 4+3 + 2 = 10$.

Entonces no $2*1432 = 1432 + 1432 = 2*10^3 + 8*10^2 + 6*10 + 2 = 2864$ y se suman los dígitos $2+8+6+4 = 2(1+4+3+2) = 2*10 = 20$.

Ahora lo $3*1432 = 1432 + 1432 + 1432 = 3*10^3 + 12*10^2 + 9*10 + 6$ y se suman los cuasi-dígitos $3+12 + 9 + 6 = 3(1 + 4 + 3 + 2) = 3*10 = 30$.

Pero esas son las cuasi-dígitos, los dígitos real requieren de la realización.

$3*1432 = 1432 + 1432 + 1432 = 3*10^3 + 12*10^2 + 9*10 + 6=$

$(3 + 1)*10^3 + (12 -10)*10^2 + 9*10 + 6$ y si sumamos estos pseudo-dígitos llegamos $(3 + 1) + (12 - 10)10^2 + 9 + 6 = (3 + 12 + 9 + 6) - 9 = 3(1+4+3+2) - 9 = 3*10 - 9 = 21$.

Y, de hecho, $3*1432 = 1432 + 1432 + 1432 = $

$3*10^3 + 12*10^2 + 9*10 + 6=(3 + 1)*10^3 + (12 -10)*10^2 + 9*10 + 6=$

$4*10^3 + 2*10^2 + 9*10 + 6 = 4296$ y la suma de los dígitos es $4+2+9+6 = 12$.

Así que nuestro patrón fue de $10,20$ y, a continuación, cuando esperábamos $30$ cayó por $9$$21$. es decir, en lugar de la adición de $10$, añadió $1$.

Para $4*1432$ nos pondremos $4(16)(12)8$ y si sumamos $4+16+12+8 = 40$ obtenemos el siguiente en el patrón esperado de la adición de $10$ cada vez.

Pero tenemos que seguir así, obtenemos $(4+1)(16-10+1)(12 - 10)8 = 5728$$5+7+2+8 = 22 = 4 + 16 + 12 + 8 - 9 - 9 = 40 - 18$. En lugar de agregar $10$, sólo se agregó $1$ nuevo.

Así que en general, si la suma de los dígitos de $X$ $k$ a la suma de los dígitos de $vX$ $vk - 9m$ sin embargo $m$ muchas veces hemos tenido que "soportar" en el cálculo de los dígitos.

Es lo mismo para la base 12. Excepto que en lugar de llevar a "$-10$" y añade "$1$" para conseguir una red de $-9$. Llevamos $-12$ para obtener una red de $-11$.

$11111_{10} = 651E_{12}$ tiene la suma de los dígitos $6+5+1+11 = 23$.

Por lo que la suma de los dígitos de $xxxxx_{10} = x*651E_{12}$ tendrá la suma de $23x - 11m$ si llevar a $m$ veces.

$222222_{10} = 2*651E_{12} = (2*6)12^3 + (2*5)12^2 + (2*1)12 + 2*11$

$= 1*12^4 + (12 -12)12^3 + 10*12^2 + (2 + 1)12 + (22 - 12)11$ tendrá la suma de los dígitos de los ser $2*23 - 2*11 = 24$ porque hemos llevado dos veces.

Continuando llegamos a la fraseología $23, 24, 25,26,27,28, 18 (= 29 + 1 - 12), 19, 31 (=19 +1 - (1-12))$, etc. El patrón es básicamente $ + 23 - 2*11 = + 1$, ya que normalmente se necesita para llevar dos veces en cada paso. A veces necesitamos llevar más o menos, usted puede visitar $+1 - 11 = -10$ o, a veces, que va a saltar por $+1 + 11 = + 12$. Usted puede incluso saltar por $23$ si no llevar nada. (Tal vez, va a ser raro.)

=== mayores confuso, indicando que la respuesta no pienso en ella y observaciones como la ome para mí, la respuesta ======

En cuanto a tu segunda observación:

$11111_{10} = 651E_{12}$; esto se puede considerar como más o menos arbitrarias.

La suma de los dígitos es $6 + 5 + 1 + E = 23_{10} = 1E_{12}$

Si no fuera por "llevar", la suma de los dígitos de $xxxxx_{10}$ $x$ veces la suma de los dígitos de $11111$. Pero debido a la realización y porque estamos sumando los dígitos de una base de 12, cuando la llevamos somos la disminución de un valor esperado por 12 y el aumento de la próxima valor esperado por 1 para una disminución total por un múltiplo por 11.

Así que esperamos que las $22222 = (12)X2(2*E)$$12 + X + 2 + (2*E) = 46 = 2*23$, pero el $2*E = 1X$. Así que tenemos (12)X3X La $X$ $12$ menos de $1X_{12}=22_{10}$ pero "$3$ "$1$ más que en el"$2$, por lo que tenemos $12 + X + 3 + X = 35$ $11$ menos de lo que nos espera. Pero la la (12) se convierte en "$12_{10}=10_{12}->1+0=0$" por lo que disminuye lo que nos espera al otro $11$ así obtenemos $22222 = 10X3X$ $1+0+X+3+X = 24$

Por coincidencia, nuestra primera suma se $23=2*11 + 1$, por lo que nos espera el próximo suma a rendimiento $23+23$, pero lo que realmente produjo $23 + 23 - 11 - 11 = 23 + 1 = 24$

Los esperamos de nuestro tercer suma a yeild $23 + 23 + 23$ pero $3*651E$ nos va a llevar un poco más. $3*E=29$ el que lleva dos veces. $3*5 = 13$ , de modo que lleva a la vez. y $3*6 = 16$, de modo que lleva a una vez por lo que la suma es $23 +23 + 23 - 4(11)= 25$.

El resto de los números se comportan muy bien. Llevamos $6$ veces $44444$ para obtener un valor de $4*23 - 6*11 = 23 + 3$. Y de $55555$ $66666$ llevamos $8$ $10$ veces respectivamente. Pero para $77777$ llevamos $13$ $12$ veces lo conseguimos $7*23 - 13*11 = 7(2*11 + 1) - 13*11 = 11 + 7 = 18$ $11$ menos de lo que se nos viene a la espera. (Usted cometió un error de $3+9 + 1 + 5 = 18$; no $17$)

$88888$ porta $15$ veces así que volvemos a nuestro patrón de "añadir".

Pero $99999$ porta $16$, no $17$, a veces así nos "pop" a nuestra primera secuencia de ahora, en los años treinta.

El patrón continuará en general la adición de uno, pero de vez en cuando en lugar de la adición de $1$ caerá $10$ o saltar $12$. Es posible que, ocasionalmente, incluso soltar $21$ o saltar $23$.