¿Cómo solucionarlo?

Question

La cuestión es saber de $x$ en la:

\begin{equation*} x^2=e^x \end{ecuación*}

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Sé que el método de Newton y, por tanto, podría encontrar el aprox como $x\approx -0.7034674225$ a partir de

\begin{equation*} x_{n+1} = x_n - \dfrac{x_n^2-e^{x_n}}{2x_n-e^{x_n}} \end{ecuación*}

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De acuerdo a WolframAlpha:

También dicen que $x=-2W(\dfrac{1}{2})$, lo que muestra que puede ser resuelto utilizando algunos de Lambert-W función...¿alguien Puede decirme cómo hacerlo?

Muchas gracias!

P. S. - me estudió un li'l bits de Lambert-W ... Así que supongo que una explicación detallada no sería necesario ... sólo los primeros pasos!

Answer 1

$$x ^ 2 = e ^ x\implies x / 2 = \pm\tfrac12e^ {x / 2} \implies-x/2\,e^ {-x / 2} = \pm\tfrac12$$ por lo tanto, x=-2\mathrm{W}\!\left(\pm\tfrac12\right) desde $\mathrm{W}(x)$ es real solamente para $x\ge-\frac1e$, sólo tenemos una solución real: $$x =-2\mathrm {W} \!\left (\tfrac12\right) 0.70346742249839165205 =$$

Answer 2

La función W de Lambert es el inverso del $xe^x$. Deseamos encontrar la inversa de $e^x x^{-2}$, dividiendo por $x^2$.

Ahora:\begin{align} y &= x^{-2} e^x \\ y^{-0.5} &= x e^{-0.5x} &&\vee y^{-0.5} = -x e^{-0.5x} \\ -0.5y^{-0.5} &= -0.5x e^{-0.5x} &&\vee 0.5y^{-0.5} = -0.5x e^{-0.5x} \\ W(-0.5y^{-0.5}) &= -0.5x &&\vee W(0.5y^{-0.5}) = -0.5x \\ x &= -2W(-0.5y^{-0.5}) &&\vee x = -2W(0.5y^{-0.5}) \\ \\ \end {Alinee el}

Ahora tenemos que y = 1, así $x=-2W(-0.5)$ o $x=-2W(0.5)$. La primera de ellas es compleja, tan sólo que el otro sigue siendo tan real solución.

Answer 3

Escriba la ecuación de $x^2e^{-x} = 1$. Entonces $x^2e^{-x} = 4\left(\left(-\frac{x}{2}\right)e^{-\frac{x}{2}}\right)^2$.