Lipschitz función $f\colon A \to \mathbb{R}$, $A \subseteq \mathbb{R}$ medibles.

Question

Supongamos que es mensurable $A \subseteq \mathbb{R}$ y $f\colon A \to \mathbb{R}$ es Lipschitz en el conjunto de $A$, es decir allí es algunos $K\ge 0$ tal que $\lvert f(x)-f(y)\rvert \le K \lvert x-y\rvert$ $x,y \in A$.

Estoy tratando de probar que $ m^\ast(f(E)) \le K\, m ^ \ast (E) \textrm {para cada sistema} E \subseteq a. $$

He intentado cubrir el conjunto de $E$ por intervalos, sin embargo, la función $f$ puede no se han definido fuera del conjunto $A$. También, acercarse a conjunto de $E$ de dentro puede encontrar problema cuando $E$ es no mensurable.

Answer 1

He tratado de cubrir el conjunto de $E$ por intervalos, sin embargo, la función de $f$ no se han definido fuera del conjunto de $A$.

Que bueno que te di cuenta de ese problema.

Pero que problema puede ser tratado, podemos extender $f$ a un Lipschitz continua $F \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con la misma constante de Lipschitz $K$:

En primer lugar, desde Lipschitz funciones uniformemente continuas, $f$ tiene una única extensión continua $\overline{f} \colon \overline{A} \to \mathbb{R}$. Esta extensión también es Lipschitz continua con constante de Lipschitz $K$:$x,y \in \overline{A}$, elija las secuencias de $(x_n),\, (y_n)$$A$$x_n \to x,\, y_n \to y$. Entonces

$$\lvert \overline{f}(x) - \overline{f}(y)\rvert = \lim_{n\to\infty} \lvert f(x_n) - f(y_n)\rvert \leqslant \lim_{n\to\infty} K\lvert x_n - y_n\rvert = K\lvert x-y\rvert.$$

Entonces podemos extender $\overline{f}$ a todos $\mathbb{R}$. $\mathbb{R}\setminus \overline{A}$ es un discontinuo de la unión de countably muchas de intervalos. Para un intervalo acotado $(a,b)$ en el complemento de $\overline{A}$, $a,b \in \overline{A}$ y se puede definir la extensión de la interpolación lineal,

$$F(x) := \frac{x-a}{b-a} \overline{f}(b) + \frac{b-x}{b-a} \overline{f}(a).$$

Si $\overline{A}$ está delimitado por encima, y $a = \max \overline{A}$, definir $F(x) = \overline{f}(a)$$x > a$. Si $\overline{A}$ está delimitado por debajo y $b = \min \overline{A}$, definir $F(x) = \overline{f}(b)$$x < b$. (Y si $A = \varnothing$, no hay nada que hacer, pero podemos establecer $F(x) = 0$ todos los $x$.)

Compruebe que la extensión de $F$, así definida, es globalmente Lipschitz función de con $\lvert F(x) - F(y)\rvert \leqslant K\lvert x-y\rvert$ todos los $x,y\in \mathbb{R}$.

A continuación, cubriendo $E$ por intervalos y mirando a la correspondiente cubierta de $f(E) = F(E)$ obras.

Answer 2

No sabemos si la función puede ser extendido a $\mathbb{R}$ por la continua extensión del teorema, por lo que nosotros nos encargamos de utilizar el método que se utilice para demostrar el Crecimiento de la Lema.

Para $\forall E \subseteq A$, podemos cubrir la $E$$\{I_k\}$, s.t. $$ E \subseteq \cup_k I_k\quad \textrm{y}\quad \sum_k m(I_k) \le m^\ast (E) + \varepsilon $$ Desde $A$ es medible, tenemos $\{I^\prime_k\}$ $I_k^\prime = \ A \cap I_k$ medibles para cada $k$. $$ E \subseteq \cup_k I_k^\prime\quad \textrm{y}\quad \sum_k m(I^\prime_k) \le m^\ast (E) + \varepsilon $$ Para $\forall x, y \in I_k^\prime$,

$\because x, y \in A$ y se Lipschitz en el set $A$.

$\therefore |f(x) - f(y)| \le K |x - y|$.

$\Rightarrow \textrm{diam}(f(I_k^\prime)) = \textrm{sup}\{|f(x) - f(y)|:x,y \in I_k^\prime\} \le K m(I_k^\prime)$

Desde $f$ mapas de $A$$\mathbb{R}$, y el intervalo de $Q_k$ $m(Q_k) = {\rm diam}(f(I_k^\prime))$ puede cubrir $f(I_k^\prime)$.

$\Rightarrow m^\ast (f(I_k^\prime)) \le m(Q_k) = {\rm diam}(f(I_k^\prime))$

Por lo tanto, $m^\ast (f(I_k^\prime)) \le K m(I_k^\prime)$. Entonces podemos concluir que \begin{align*} m^\ast (f(E)) & \le m^\ast(\cup_k f(I_k^\prime))\\ & \le \sum_k m^\ast (f(I_k^\prime))\\ & \le K \sum_k m(I_k^\prime)\\ & \le K \sum_k m(I_k)\\ &\le K (m^\ast (E) + \varepsilon) \end{align*}

Desde $\varepsilon$ es arbitrario, el resultado de la siguiente manera.