Me he encontrado este problema en una tarea de conjunto de problemas de topología algebraica. Naturalmente, pensé acerca de Periodicidad de Bott, que implica la $K(\mathbb{S}^{2})\cong \mathbb{Z}$. Pero estoy ten en cuenta que estamos trabajando en $KO$ teoría en lugar de $K$ teoría, así que esto no es aplicable. Después de comprobar en internet encontré $KO(\mathbb{S}^{2})\cong \mathbb{Z}_{2}$, sin embargo no sé una simple prueba de ello. Mis pensamientos son:
1) Sería apropiado para el trabajo a través de Chern clase de $\mathbb{S}^{2}$? Ya hemos ch($\mathbb{S}^{2}\otimes \mathbb{S}^{2}$)=ch($\mathbb{S}^{2}$)+ch($\mathbb{S}^{2}$), sólo necesito mostrar $ch(\mathbb{S}^{2})$ tiene carácter 2. Así que tenemos $ch(\mathbb{S}^{2})=ch(\mathbb{C}\mathbb{P}^{1})$. Geométricamente es "claro" que el tautologous paquete debe tener un orden 2 porque de la mitad de extorsión, pero me encontré con el mismo problema aquí: es decir, el complejo de álgebra puede ser diferente de la real álgebra. Desde Chern clase se define más de hermitian vector de paquetes no sé cómo llevar a cabo esto.
2) Por otro lado, también debe ser fácil de resolver este problema sin usar la característica de clases, ya que el autor no introducir el concepto en que sección. Pero no sé cómo trabajar la trivilization muy bien. Para demostrar que, de hecho, trivializar necesitaría cuatro secciones independientes; no sé cómo encontrarlos.
