La convergencia de $\sum_{m\text{ is composite}}\frac{1}{m}$

Question

Se puede demostrar fácilmente que la serie armónica $$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}$$ es divergente.
También se ha demostrado que la serie infinita de los recíprocos de los números primos $$\sum_{p\text{ is prime}}\dfrac{1}{p}$$ es divergente.

Yo creo que la serie $$\sum_{m\text{ is composite}}\dfrac{1}{m}$$ es también divergentes.

Pero no tengo idea de intentar una prueba. Cualquier ayuda se aprecia. Gracias.

Answer 1

$$\sum_{m\text{ is composite}}\frac{1}{m}>\sum_{\substack{m \text{ is even}\\m>2}}\frac{1}{m}$$ y el último es claramente divergentes.

Si te gusta nuke, por el Mertens' segundo teorema se sigue que: $$\sum_{\substack{m\text{ is composite}\\m\leq M}}\frac{1}{m}=\log M-\log\log M+O(1).$$

Answer 2

Para cualquier prime $p$, el número de $2p$ es compuesto. Por lo tanto $$ \sum_{m \text{ compuesto}} \frac{1}{m} \geq \sum_{p \text{ prime}} \frac{1}{2} = \frac12 \sum_{p \text{ prime}} \frac{1}{p}. $$ Desde el último de la serie es divergente, lo mismo vale para la primera serie.

Answer 3

Vamos a la orden de los números primos $p_n$ $n^{th}$ primer de la serie de los números primos. Para cada número compuesto $m$ no es un primo tal que $p_{n-1}\lt m\lt p_n$ y, por tanto, $\frac{1}{m}\gt \frac{1}{p_n}$ si $\alpha_n$ es el número de compuestos entre dos números primos consecutivos, uno ha $\alpha_n\geq 2$ y podemos escribir

$$\sum_{m\text{ is composite}}\frac{1}{m}\gt \sum_{n}\alpha_n\frac{1}{p_n}\geq\sum_{n}2\frac{1}{p_n}$$

y esto nos dice que la suma es divergente