Encuentre la suma $$\sum\limits_{a=0}^{\infty}\sum\limits_{b=0}^{\infty}\sum\limits_{c=0}^{\infty}\frac{1}{(a+b+c)!}$$ Intenté hacer algo parecido a una serie geométrica pero no pude. Entonces no se me ocurrió nada.
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Roger Hoover
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Lo tenemos: $$S=\sum_{a,b,c\geq 0}\frac{1}{(a+b+c)!}=\sum_{n\geq 0}\frac{r(n)}{n!}$$ donde: $$ r(n)=\#\{(a,b,c)\in\mathbb{N}^3:a+b+c=n\}=[x^n]\frac{1}{(1-x)^3}=\frac{(n+2)(n+1)}{2} $$ conduce a: $$ S=\frac{1}{2}\left.\frac{d^2}{dz^2}\left(z^2 e^z\right)\right|_{z=1}=\left.\frac{z^2+4z+2}{2}e^z\right|_{z=1}=\color{red}{\frac{7e}{2}}. $$
martinhans
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Considere un número entero $m$ donde $a+b+c=m$ $\lbrace m,a,b,c\in \Bbb N_0\rbrace$ .
El número de combinaciones posibles de $a, b, c$ viene dada por $$\begin{align} N(m)&=\sum_{a=0}^{m}\sum_{b=0}^{m-a}1\\ &=\sum_{a=0}^{m}(m-a+1)\\ &=\sum_{a=1}^{m+1}a\quad \text{ or } {a\choose 1}\\ &={m+2\choose 2} \end{align}$$
Lo anterior también se puede derivar utilizando el método de "estrellas y barras" para contar el número de formas de partición de un conjunto con $m$ elementos en $n$ grupos (aquí $n=3$ ), que viene dada por $$N(m)=\binom {m+n-1}{n-1}\Biggr|_{n=3}=\binom {m+2}2$$ .
Por lo tanto, $$\begin{align} \sum_{a=0}^{\infty}\sum_{b=0}^{\infty}\sum_{c=0}^{\infty}\frac 1{(a+b+c)!} &=\sum_{m=0}^\infty \frac {N(m)}{m!}\\ &=\sum_{m=0}^\infty \frac {1}{m!}{m+2\choose 2}\\ &=\sum_{m=0}^\infty \frac {1}{m!}\frac{(m+2)(m+1)}2\\ &=\frac 12 \sum_{m=0}^\infty \frac {m^2+3m+2}{m!}\\ &=\frac 12 \sum_{m=0}^\infty \frac {m(m-1)+4m+2}{m!}\\ &=\frac 12 \sum_{m=0}^\infty \frac 1{(m-2)!}+\frac 4{(m-1)!}+\frac 2{m!}\\ &=\frac 72 \sum_{m=0}^\infty \frac 1{m!}\\ &=\frac 72e\qquad \blacksquare \end{align}$$
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En general, $$\sum_{a_1=0}^\infty~\sum_{a_2=0}^\infty~\cdots~\sum_{a_n=0}^\infty \dfrac1{(a_1+a_2+\ldots+a_n)!}~=~\frac{b_n}{(n-1)!}\cdot e$$ donde $b_n$ forma la secuencia descrita ici .
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También, $$\sum_{a_1=0}^\infty~\sum_{a_2=0}^\infty~\cdots~\sum_{a_n=0}^\infty \dfrac{(-1)^{a_1+a_2+\ldots+a_n}}{(a_1+a_2+\ldots+a_n)!} ~=~ \frac{b_n}{c_n}\cdot\frac1e$$ donde $b_n$ y $c_n$ forman las dos secuencias descritas ici y ici .