Ecuación diferencial de un camino

Question

La ecuación diferencial de la trayectoria de una partícula es $$\frac{d^2 u}{d \theta^2}-\frac{5}{4}u=\frac{9}{4}\frac{\alpha}{\beta^2}$$ donde $u=\frac{1}{r}$ y $r$ es la distancia desde el origen a una partícula, $\alpha,\beta=\text{const}.$

Tengo que la solución de este DE es $$u=C_1e^{\sqrt{\frac{5}{4}}\theta}+C_2e^{-\sqrt{\frac{5}{4}}\theta}-\frac{9\alpha}{5\beta^2}$$ Las condiciones iniciales son $r=\frac{\beta^2}{3\alpha}$ y $\theta=0$ al momento $t=0$ . Además, sé que $\frac{du}{d\theta}(0)=-\frac{3\sqrt 3\alpha}{\beta^2}$

A partir de estas condiciones iniciales encontré las constantes $C_1$ y $C_2$ .

Tengo que demostrar que una partícula volverá a su posición inicial después de una revolución alrededor de $O$ y luego volar hasta el infinito.

¿Cómo puedo hacerlo?

Answer 1

La pregunta es ligeramente engañosa: no se trata de igualar $u(2 \pi)$ con $u(0)$ . Más bien, sólo está tratando de mostrar que hay otra $\theta$ para lo cual $u(\theta)=u(0)$ . Esto es fácil de hacer.

Me saltaré el álgebra al hacer coincidir las condiciones iniciales y produciré la solución explícitamente:

$$\frac{\beta^2}{\alpha} u(\theta) = \frac{3}{5} \left (4-\sqrt{15}\right) e^{\sqrt{5} \theta/2} + \frac{3}{5} \left (4+\sqrt{15}\right) e^{-\sqrt{5} \theta/2} - \frac{9}{5}$$

Deseamos resolver $u(\theta) = 3 \alpha/\beta^2$ para $\theta$ . Como probablemente puedas suponer, esto lleva a una cuadrática:

$$\left (4-\sqrt{15}\right) y^2 - 8 y + \left (4+\sqrt{15}\right)=0$$

donde $y=e^{\sqrt{5} \theta/2}$ . Las soluciones son $y=1$ para lo cual $\theta=0$ como se esperaba, y

$$y=\frac{4+\sqrt{15}}{4-\sqrt{15}} = \left ( 4+\sqrt{15}\right)^2$$

o

$$\theta = \frac{4}{\sqrt{5}} \log{\left ( 4+\sqrt{15}\right)} \approx 3.6932$$

Así que esto vuelve a su punto inicial no realmente después de una revolución completa, pero tal vez un poco más de un cuarto de vuelta.

En cuanto a disparar al infinito, eso es algo $\theta$ para lo cual $u(\theta)=0$ . Esta es otra cuadrática:

$$\left (4-\sqrt{15}\right) y^2 - 3 y + \left (4+\sqrt{15}\right)=0$$

Aquí, obtengo las dos soluciones positivas, y las correspondientes $\theta$ ocurren antes del valor que encontré arriba, que no encaja en la narrativa del problema.