Se puede determinar una ecuación diferencial a partir de sus soluciones?

Question

Un lineal de primer orden de la ecuación diferencial tiene dos soluciones: $$y_1(x)=x^2 \\y_2(x)=\frac{1}{x}$$ Determinar el diferencial ecuación

Hice algunas investigaciones y creo que puedo usar el wronskian para determinar mi original DE pero yo no se realmente como funciona. Alguien puede mostrarme cómo se hace? (Sería agradable si usted podría utilizar un ejemplo diferente para que yo pueda resolver esta pregunta a mí mismo).

Answer 1

Deje $y'=a(x)\,y+f(x)$ ser la ecuación. Tenemos que determinar $a$$f$. La función de $y_1-y_2$ es una solución de la ecuación homogénea $y'=a\,y$, que es $$ 2\,x+\frac{1}{x^2}=a(x)\Bigl(x^2-\frac1x\Bigr). $$ A partir de este se encuentra $a$, y, a continuación,$f$.

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Answer 2

En el caso de encontrar en el lineal de segundo orden de la ecuación diferencial para que $\{y_1,y_2\}$ es la base de las soluciones, usted puede seguir su primera intuición y resolverlo utilizando el Wronskian.

Primero tienes que comprobar que el $W(y_1,y_2)(x) \ne 0$ cualquier $x$ en el intervalo de definición de la ecuación diferencial. Con suerte, $\forall x >0 $ o $x<0$ :
$$W(y_1,y_2)(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x^2 & x^{-1} \\ 2x & -x^{-2} \end{vmatrix} = - 3 \ne 0$$

Eso significa que la siguiente ecuación

$$ \begin{vmatrix} y & y_1 & y_2 \\ y' & y_1' & y_2' \\ y'' & y_1'' & y_2'' \end{vmatrix} = 0 = y" \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} -y' \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1'' & y_2'' \end{vmatrix} + y \begin{vmatrix} y_1' & y_2' \\ y_1'' & y_2'' \end{vmatrix} $$

es un verdadero segundo orden de la ecuación diferencial. Y se puede ver que ambos $y_1$ $y_2$ son la solución a esta ecuación mediante la sustitución de $y$ $y_1$ o $y_2$ en el factor determinante de la expresión.

Answer 3

Alternativamente:

Como la ecuación es lineal, $y=ax^2+(1-a)\dfrac1x$ es un parámetro general de la solución, que incluye las $y_1$$y_2$. Eliminar $a$ desde el sistema

$$ $ y=ax^2+\frac{1}x\\ y'=2ax-\frac{1}{x^2}.$$

Usted obtener

$$a=\frac{xy'+y}{3x^2},$$ de ahí

$$y=\frac{xy'+y}{3x^2}(x^2-\frac1x)+\frac1x.$$