Que $X$ y $Y$ dos conjuntos, $f:X\to Y$ y $\mu$ una medida exterior en $2^X$. ¿Es cierto que la imagen de $\mu$ en $f$ definida por $$ \nu(B): = \mu(f^{-1}(B)) $$ es una medida exterior en $Y$? Si no me equivoco, la respuesta es sí, como conserva de $f^{-1}$ juegos de vacío, sistema de inclusiones y trayectos con los sindicatos. Al mismo tiempo, nunca he visto tal construcción en uso, por lo que sería feliz si alguien sabe alguna referencia sobre un tema.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Son las dos características de una medida externa $\nu$
- $\nu(\emptyset) = 0$, y
- $\displaystyle A \subset \bigcup_k B_k \implies \nu(A) \le \sum_k \nu(B_k)$
cuando $\{B_k\}$ es una colección contable de conjuntos.
Para la primera parte usted tiene $$\nu(\emptyset) = \mu(f^{-1}(\emptyset)) = \mu(\emptyset) = 0$ $ y para el segundo tienes\begin{align*} A \subset \bigcup_k B_k &\implies f^{-1}(A) \subset f^{-1} \left( \bigcup_k B_k \right) = \bigcup_k f^{-1}(B_k) \\ &\implies \mu(f^{-1}(A)) \le \sum_k \mu(f^{-1}(B_k)) \end{align*} $\mu$ es una medida externa. Por lo tanto $$ A \subset \bigcup_k B_k \implies \nu(A) \le \sum_k \nu(B_k) $$ que le da ese $\nu$ es una medida externa.
