¿Donde se oculta el grupo simétrico en el lema de Yoneda?

Question

En la extensión a la pregunta

Yoneda-Lema como generalización de Cayley del teorema?,

alguien puede señalar para mí, donde, en la categoría de notación y analyzation de la del teorema de Cayley, el symmetrc grupo de transformaciones de los elementos del grupo es?

---

Dicho de otra manera: veo que la estructura del grupo se encuentra en el conjunto de toda la transformación de los elementos del grupo y para el grupo es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico. Pero el grupo simétrico es un gran objeto (por ejemplo, para $\mathbb{Z_3}$ con sus 3 elementos, $S_3$ 3!=6 elementos) y no lo encuentro en la Yoneda lema.

---

Dicho de otra manera: del teorema de Cayley dice algo acerca de un subconjunto, que básicamente $G$ es isomorfo a algún tipo de transformación en $G$, pongamos nombre es $\lambda(G)$, y el insight es $\lambda(G)\le S(G)$. Como el Yoneda lema sólo tiene una igual (o isomorfo) firmar, me pregunto de dónde la $\le$ símbolo se encuentra en la categoría de lengua.

Sólo puedo suponer que el lema $F(A)=\text{nat}(\text{hom}(A,-),F)$ se traduce a $G=\lambda(G)$ si uno de los tapones en el hom functor para $F$ y el resulution a mi pregunta sería entonces a ver lo que el $S(G)$ es en términos de $\text{nat}(\text{hom}(A,-),F)$ y por qué. (Yo no se mucho de ella, ya que parece ser sólo un objeto de $A$ puedo jugar. Y no me conceptualizar natural transformaciones muy bueno, me temo.)

Answer 1

$S(G)$ es el conjunto de todos los bijections en $\mathcal{Set}$ $|G|$ a, donde I denota por $|G|$ el conjunto subyacente de $G$. Esta es exactamente la permutación grupo en $|G|$.

Ahora, la aplicación de Yoneda que nos llega de Cayley es, como dice usted, teniendo en $F=\hom_G(B,-),$ donde $\hat{G}$ denota la una de la categoría de objeto con $G$ sus flechas. Llame a su único objeto $X$. Así, para cada $A,B,$ obtenemos $F(A)=\hom(B,A)=\textrm{nat} (\hom(A,-),\hom(B,-))$. Pero el único candidato para $A$ o $B$$X$, por lo que todo lo que realmente tenemos es $\hom(X,X)=\textrm{nat} (\hom(X,-),\hom(X,-))$. Ahora por la construcción de $\hat{G}, \hom(X,X)=G,$ así que solo quieres ver por qué las naturales transformaciones de $\hom(X,-)$ que sí están contenidos en el bijections en $|G|$.

En primer lugar, los objetos de la imagen de $\hom(X,-)$ sólo $\hom(X,X)=|G|.$ Vamos a interpretar las imágenes de morfismos en $\hat{G}$, que son los elementos de $g,$ por el derecho de acción: $\hom(X,g): h \in |G| \mapsto hg$. Ahora una transformación natural $\alpha$ tiene un componente de morfismos en cada uno de los objetos en la imagen de la functor, pero desde nuestro functors han singleton imágenes vamos a identificar a $\alpha$$\alpha_{|G|}$. La connaturalidad $\alpha$ necesidades está dada por el siguiente diagrama: $$ \newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5 ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5 ex} \newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5 ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5 ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\subir.5ex\rlap{\scriptstyle#1}} \begin{array}{ccc} |G|&\ra{\alpha}&|G|\\ \da{g}&&\da{g}\\ |G|&\ra{\alpha}&|G|\\ \end{array} $$ Es decir, tenemos $\alpha(hg)=(\alpha(h))g$ por cada $h,g$. Es evidente que se puede lograr esto por un conjunto de $\alpha$ isomorfo a $G$ dejando que cada una de las $k$ $G$ ley de la izquierda. Tenga en cuenta que cualquier natural $\alpha$ tendrá que ser un bijection en $|G|,$ en breve, ya que el derecho de acción de $G$ sobre sí mismo es transitiva. Así, vemos que la admisible bijections son un subconjunto de a $S(|G|)$; por Yoneda, son exactamente $G$, por lo que el $G \leq S(|G|)$.

Answer 2

$S(G)$ proviene de $\mathbf{Set}$.

Deje $\mathbf{G}$ ser la categoría con un objeto * tal que $\hom(*,*) = G$.

Si quieres pensar de Cayley del teorema de categoría de la teoría del punto de vista, es una combinación de varias diferentes observaciones.

• Es evidente que existe una acción de $G$ sobre sí mismo
• Un $G$-es la misma cosa que un functor $\mathbf{G} \to \mathbf{Set}$
• La imagen de cualquier monoid homomorphism de un grupo a un monoid está contenida en las unidades de la monoid (el submonoid de invertible elementos)
• El grupo de la unidad de $\mathop{\text{End}}(X)$ $S(X)$

La parte interesante de la analogía entre la Yoneda lema y del teorema de Cayley es que no la última viñeta.

Si usted realmente desea de una manera más directa analógica de un functor $G \to S(|G|)$, luego de observar que cada flecha $f:Y \to Z$ de su categoría induce una función de conjuntos de

$$ f_* : \hom(X, Y) \to \hom(X, Z)$$

que es natural en $X$,$(fg)_* = f_* g_*$. (y la correspondiente contravariante versión)

Si usted realmente, realmente quiere algo aún más directa, estoy seguro de que usted puede establecer algún tipo de objeto y mira su endomorfismo categoría, y tiene un functor de$\mathbf{C}$ \. Dudo que va a ser esclarecedor.