Hallar el límite de $n \ (\sqrt[n]{n} - 1) $

Question

Hallar el límite de $n \ (\sqrt[n]{n} - 1) $ .

Wolfram dice que es $+\infty$ .

Obviamente $n \rightarrow +\infty$ y $\sqrt[n]{n} - 1\rightarrow 0$ .

¿Alguna pista?

Answer 1

Sugerencia $$ n \ (\sqrt[n]{n} - 1)={e^{(\ln n)/n}-1\over (\ln n)/n}\ln n. $$

Answer 2

Con aproximaciones de Taylor, utilizando los hechos de que (i) $e^x = 1+x +o(x)$ cuando $x\to 0$ (ii) $\sqrt[n]{n}=e^{\frac{\ln n}{n}}$ y iii) ${\frac{\ln n}{n}}\xrightarrow[n\to\infty]{}0$ :

(Véase más abajo una derivación completa y detallada; deténgase aquí si sólo quería una pista).

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$$\begin{align}n\left(\sqrt[n]{n}-1\right) &= n\left(e^{\frac{\ln n}{n}}-1\right)= n\left(1+\frac{\ln n}{n} + o\left(\frac{\ln n}{n}\right)-1\right) \\&= n\left(\frac{\ln n}{n} + o\left(\frac{\ln n}{n}\right)\right)= \ln n + o(\ln n)\end{align}$$ y puesto que $\ln n \xrightarrow[n\to\infty]{} \infty$ se puede concluir por comparación.

Answer 3

$$\lim_{n\to\infty}\frac{(n^\frac1n-1)}{\frac1n}$$

Utilizar Hopital

$$=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{\frac1n}\frac1{n^2}\times (-\ln n +1)}{\frac{-1}{n^2}}$$ $$=\lim_{n\to\infty}n^{\frac1n}(\ln n -1)$$

Answer 4

$$n(\sqrt[n] n-1)= \frac {\sqrt[n] n-1}{\frac{1}{n}}$$ Entonces, aplicando la regla de L'Hôpital, se tiene (después de simplificar en numerador y denominador del factor $\frac{1}{n^2}$ que no puedo llegar a escribir en Tex Comandos) $$\frac{-n^{1/n}(\ln n-1)}{-1}$$ y esta expresión tiende claramente a $+\infty$ cuando $n\to\infty$