Cubrir un plano con parábolas y las hipérbolas

Question

¿Cómo sería un enfoque probar las siguientes afirmaciones:

(a) Un avión puede ser cubierto con los interiores de número finito de hipérbolas

(b) Un avión no pueden ser cubiertas con los interiores de número finito de parábolas

Observaciones:

1. el interior es la parte del plano que contiene un foco (focos) de la mencionada formas.

2. Está claro que sin pérdida de generalidad se puede tomar $y=ax^2$ $xy=a$ para todos significativo de los valores del parámetro $a$ (por ejemplo,$a\ne0$) y todas las posibles rotaciones de estas curvas alrededor del origen.

Answer 1

Para (un), el origen centrado rotaciones de $xy=1$ por $0^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$, y $135^\circ$ dejar un delimitada octogonal agujero que es fácilmente cubierto.

Para (b), considere la posibilidad de una colección finita de las parábolas, y elegir una línea de $\ell$ paralelo a ninguno de sus ejes. (Ya que hay que finitely-muchos de los ejes, se puede hacer una elección). La intersección de esta $\ell$ con el interior de cualquier parábola, si no está vacío, es un finitely-largo (posiblemente de longitud cero) el segmento. Una infinitamente largo de la línea ciertamente contiene un punto no cubierto por una colección finita de aquellos.

Answer 2

Es de suponer que usted se permite que los interiores se superponen. Para una, usted necesita encontrar una colección finita. Pensar acerca de $xy=1$ desplazan hacia arriba y a la derecha por algunos de gran tamaño, cantidad, decir $10$ unidades, además de una copia desplaza hacia abajo y a la izquierda por $10$ unidades. El centro se cubre muy bien. Aún no hemos conseguido todo el avión, pero ...

Para b, pensar en tratar de cubrir un círculo muy grande. Para ser más específicos, vamos a pensar en cuánto está cubierto por el interior de $y=x^2$. Si usted toma el círculo de $x^2+y^2=R^2$, sólo cubierta de aproximadamente el $(-R,R^2)$ $(R,R^2)$(sé que estas no están en el círculo, pero ellos casi para un gran $R$ ). Esto representa un ángulo de alrededor de $\frac 2R$ radianes, la cual puede hacerse arbitrariamente pequeña tomando $R$ lo suficientemente grande. Funciona incluso si la parábola no pasa por el origen, sólo tiene que trabajar en $R$. Por lo tanto, dado un conjunto finito de parábolas, tome $R$ suficientemente grande como para que... Hay un montón de agujeros para llenar, pero la idea está ahí.