Cuando se $\binom{n}{k}$ divisible por $n$?

Question

Es allí cualquier manera de determinar si $\binom{n}{k} \equiv 0\pmod{n}$. Tenga en cuenta que soy consciente de que el caso al $n =p$ de una prima. Aparte de que no parece haber ningún tipo de patrón (he comprobado hasta el $n=50$). ¿Se conocen casos especiales donde el problema se hace más fácil? Como un lugar para empezar yo estaba pensando en usar $e_p(n!)$ se define como:

$$e_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty}\left \lfloor\frac{n}{p^k}\right \rfloor$$

Que cuenta el exponente de $p$ $n!$ (Legendre del teorema creo?)

Y después de conocer la factorización prima de $n$ tal vez podemos determinar si estos números primos que aparecen más veces en el numerador de $\binom{n}{k}$ que el denominador.

Básicamente estoy buscando a ver si este método tiene tracción a ella y lo que otros tipos de investigación se han hecho sobre este problema (junto con las pruebas de los resultados) antes. Gracias!

Answer 1

Abajo una foto de la situación. Los puntos rojos son los puntos de los primeros 256 filas del triángulo de Pascal, donde $n\mid {n \choose k}$.

Parece que "la mayoría" de los valores se ajustan a la ley.

Uno puede demostrar lo siguiente:

La proposición: Cuando $(k, n)=1$,$n \mid {n\choose k}$.

Esto se desprende de el caso de que $n$ es una fuente primaria de energía (considerando las distintas primer poderes dividiendo $n$).

Sin embargo, sucede muy a menudo que $(k,n) \neq 1$ pero $n \mid {n\choose k}$ todavía. Por ejemplo, $10 \mid {10\choose 4}=210$, pero $(10,4) \neq 1$ (este es el más pequeño ejemplo). No creo que hay un criterio simple.

De hecho, es interesante considerar por separado las soluciones $(n,k)$ en aquellos que son relativamente primos (que voy a llamar a la trivial soluciones) y los que no lo son. Parece que las soluciones no triviales son completamente responsables de la Sierpinski patrón en el triángulo de arriba. De hecho, aquí son sólo el trivial soluciones:

y aquí están las soluciones no triviales:

Deje $f(n)$ el número de $k$'s entre el $0$ $n$ donde $n \mid {n\choose k}$. Por la proposición tenemos $\varphi(n)< f(n) < n$.

Pregunta: es $$\text{lim sup } \frac{f(n)-\varphi(n)}{n}=1?$$

Aquí está una lista parcela de $\frac{f(n)-\varphi(n)}{n}$. El valor máximo alcanzado por $1<n<2000$ es de alrededor de $0.64980544$. Los puntos de color azul en la parte inferior son las $n$'s tal que $f(n) = \varphi(n)$.

Answer 2

Bien, $n = p^2$ al $k$ no es divisible por $p.$ $n=2p$ $k$ no divisible por $2,p.$ $n=3p$ $k$ no divisible por $3,p.$

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