Que se extiende de isometries entre compactas subespacios del espacio de Cantor

Question

Sea $\omega$ el conjunto de números naturales. $2^\omega$ es el espacio de Cantor.

Supongamos que $K$, $L \subset 2^\omega$ son compactos, y hay un isometry $f: K \to L$. Entonces ¿cómo puede uno ampliar $f$ a un isometry de $2^\omega$ $2^\omega$? Aquí estamos considerando $2^\omega$ con la métrica de la diferencia mínima, que da la topología producto estándar; decir

$ d(x,y) = 2^{-\min \{ n : x(n) \neq y(n) \}}. $

Answer 1

Al $u$ es de un número finito de palabra binaria, $u\cdot 2^\omega$ significa que el intervalo de $2^\omega$ formado por infinitas palabras con prefijo $u$ ($\cdot$ denota palabra concatenación).

Deje $A_{fin}$ el conjunto finito de prefijos de $A\subseteq 2^\omega$.

Decimos que $F: A_{fin}\to B_{fin}$ es una isometría si:

• $|F(x)|=|x|$;
• $x\preceq y$ implica $F(x)\preceq F(y)$ donde $\preceq$ es el prefijo de la relación;
• $F$ es inyectiva, o, equivalentemente, $F(x0)\ne F(x1)$ cuando ambos están en el dominio de $F$.

Nota al margen: Al $A_{fin}=B_{fin}$ (o más generalmente, cuando el conjunto múltiple de la palabra longitudes de $A_{fin}$ $B_{fin}$ coinciden), la última condición también puede ser sustituido por el de "$F$ es bijective". La primera condición, entonces, se vuelve redundante.

Lema: La relación $$\forall u\in A_{fin}, \quad f(u\cdot 2^\omega)\subseteq F(u)\cdot 2^\omega$$ es un bijection entre isometrías $f: A\to B$ e isometrías $F: A_{fin}\to B_{fin}$.

Prueba:

• Cuando $uv\in A$, $F(u)$ debe ser la primera $|u|=n$ símbolos de $f(uv)$. Esto construye $F$ en una bien definida debido a que $d(f(uv),f(uw))=d(uv,uw)\le 2^{-n}$. Al $x\ne y$ si $|x|\ne|y|$ de curso $F(x)\ne F(y)$; de lo contrario $d(f(x),f(y))=d(x,y)>2^{-|x|}$ por lo tanto $F(x)\ne F(y)$.
• Por el contrario, $f(x)=\lim_{u\preceq x} F(u)$ está bien definido por la monotonía de $F$, y si $d(x,y)=2^{-n}$ podemos dejar $u0,u1$ ser los prefijos de longitud $n+1$ de $x,y$: $2^{-n}=d(u0,u1)=d(F(u0),F(u1))=d(f(x),f(y))$.

Nota al margen: esto también le da la siguiente instrucción, que no era a priori evidente:

Corolario: Una isometría $f: A\to A$ $2^\omega$ es un bijection.

Corolario: Isometrías $A_{fin}\to B_{fin}$ como se definió anteriormente son precisamente las isometrías $A_{fin}\to B_{fin}$ por debajo de la mínima diferencia métrica y en virtud de la longitud de la palabra, donde la métrica se extiende a lo finito palabras por $d(x,u)=\max d(x,u0^\omega),d(x,u1^\omega)$. Esto justifica el uso de la palabra "isometría".

Teorema: Vamos a $A,B$ ser arbitraria de subconjuntos de a $2^\omega$. Una isometría $f: A\to B$ puede ser extendida a una isometría $g: 2^\omega\to 2^\omega$. Como también podría ser demostrado por topológica de los argumentos, la extensión es única si y sólo si $A_{fin}=(2^\omega)_{fin}$, que es el fib $A$ es denso en $2^\omega$.

Prueba: sólo Tenemos que extender una isometría $F:A_{fin}\to B_{fin}$. Al $u$ es no-vacío, deje $\sigma_F(u)$ ser el último símbolo de $F(u)$. Tenemos que $\sigma:\{0,1\}^+\to\{0,1\}$ es el último símbolo de una isometría $(2^\omega)_{fin}\to (2^\omega)_{fin}$ si y sólo si $\sigma(x1)=\neg \sigma(x0)$. Por lo que podemos definir $$\sigma(x0)=\begin{cases} \sigma_F(x0) & x0\in A_{fin}\\ \neg\sigma_F(x1) & x1\in A_{fin}\\ 0 & \text{else} \end{casos}$$ por lo que las relaciones $\sigma(x1)=\neg \sigma(x0)$ $G(ua)=G(u)\sigma(ua)$ exclusiva de definir una isometría $G: (2^\omega)_{fin}\to (2^\omega)_{fin}$. $G$ se extiende $F$, por lo que la isometría $g: 2^\omega\to 2^\omega$ extends $f$.