Mapa de cociente, topología cociente en espacios de Banach

Question

En Lindenstrauss y Tzafriri del Clásico de los Espacios de Banach yo un operador $T:X\to Y$ se llama cociente de mapa si el $\overline{TB_X}=B_Y$ donde $B_X$ $B_Y$ son la unidad de bolas en espacios de Banach $X$ $Y$ respectivamente. El overline denota el cierre.

Me pregunto cómo esta definición se refiere al cociente mapa y el cociente de la topología en la más abstracta, la configuración de espacios topológicos. Por ejemplo, si se cumple esa condición, no $Y$ tiene el cociente de la topología inducida por $T$? Y por el contrario, si $T:X\to Y$ es tal que $Y$ tiene el cociente de la topología, es que la condición (o una similar) cierto?

Answer 1

Esta definición de cociente ha métrica en mente, ya que pedimos una unidad de balón para ser asignada a la unidad de la bola. Como tal, es una generalización natural a espacios métricos $X,Y$, pero no necesariamente a general de espacios topológicos. (¿Qué es una generalización de "isometría" a espacios topológicos?)

Deje $B(x,r)$ ser el open de bola de centro $x$ y radio de $r$, e $\overline{B}(x,r)$ la bola cerrada de centro y el radio. Aquí están algunas ligeramente diferentes generalizaciones: le pedimos a $f:X\to Y$ es tal que para todos los $x\in X$ y todos los $r>0$

1. $\overline{f(\overline{B}(x,r))}=\overline{B}(f(x),r)$ (este más se aproxime a la de Banach condición de espacio)
2. $f(B(x,r))=B(f(x),r)$ ($f$ se llama una débil submetry)
3. $f(\overline{B}(x,r))=\overline{B}(f(x),r)$ ($f$ se llama submetry).

La tercera condición es el más fuerte, y más agradable para trabajar en la geometría de los espacios métricos. Por otro lado, la 2ª es más fácil de establecer cuando no tenemos la compacidad. Todos ellos son lo suficientemente fuertes para $Y$ a ser isométrico para el cociente de espacio métrico $X/f$ (notación significa que identificar los puntos con la misma imagen en $f$). Esto no es difícil de demostrar.

El recíproco es falso. Si $Y$ es un cociente de $X$ por algunos de equivalencia de la relación de $\sim$, entonces el cociente mapa de $f:X\to Y$ puede fallar 1-3 bastante mal. Aquí está un ejemplo: supongamos $X$ ser el segmento de $[0,4]$ con la métrica Euclidiana. Tome su cociente por esta relación de equivalencia: $x\sim x'$ fib $x=x'$ o $x,x'\in [1,3]$. El cociente mapa envía el cerrado de la bola de $B(2,1)$ a un punto, no a cualquier tipo de bola de radio $1$.

Caso especial cuando el contrario es cierto: $Y$ es el cociente de $X$ por un grupo de isometrías tal que las órbitas están cerrados. En este caso, el cociente mapa es un débil submetry (por ejemplo, la página 851 de Manual de Geométrica de la Topología de R. B. Sher y R. J. Daverman).

Algunos nombres para buscar en conexión con submetries: Berestovskii, Guijarro, Sharafutdinov, Perelman.