¿Por qué la norma del operador de una matriz diagonal es su mayor valor?

Question

He leído esto en mi libro de texto han tratado de trabajar a través de ella - sigo recibiendo max 2-norm (Ax), que es sólo la magnitud de Ax.

¿Cómo debo hacer esta prueba? (Nota, esto no es para la tarea, sólo estoy tratando de entender por qué no se proporciona ninguna prueba).

Answer 1

De su pregunta, supongo que usted quiere decir la norma del operador con respecto a la norma 2. Sea$A = {\rm diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ una matriz diagonal. Tenemos - $i$$x_i^2 \ge 0$$|\lambda_i|^2 \le \max_i |\lambda_i|^2$$x_i^2$$x_i^2|\lambda_i|^2 \le (\max_i|\lambda_i|)^2 x_i^2$$x$$$ \|Ax\|_2 = \max_i|\lambda_i| \cdot \|x\|_2 $$\|A\| = \max_i |\lambda_i|$\begin{align*} \|A\| &= \max_{\|x\|_2 = 1} \|Ax\|_2\\ &= \max_{\|x\|_2 = 1} \left(\sum_{i=1}^n \lambda_i^2x_i^2\right)^{1/2}\\ &\le \max_{\|x\|_2 = 1} \max_i|\lambda_i| \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{1/2}\tag 1\\ &= \max_i|\lambda_i| \cdot \max_{\|x\|_2 = 1} \|x\|_2\\ &= \max_i|\lambda_i| \end################################ %#%, obtenemos %#%#%. Ahora suma y tome la raíz cuadrada de ambos lados.

Por otro lado, sea% #% #% un autovector, correspondiente al autovalor más grande. Entonces% #% #% $ Esto da% #% #%.