Funciones bien definidas

Question

Se me pide, para discutir si o no a las siguientes dos funciones están bien definidas (definición de libro: a) defina $y$ todos los $x$ en el dominio, y b) se asigna exactamente un año). Ambas de las siguientes funciones son funciones de$\mathbb{Q}$$\mathbb{Q}$.

$$f\left(\frac{p}{q}\right) = \frac{p+1}{q}$$

$$g\left(\frac{p}{q}\right) = \frac{p+q}{p-q}$$

Mi argumento es que desde $0$ es un número racional, podemos tomar, para $f$, $p=0$ y $q=x$, y la función no se define. Del mismo modo, podemos tomar $p=q=0$$g$, y la función, de nuevo, no se define.

Pero el argumento parece ser demasiado fácil. Hay algo que me falta que no me permite el uso de estas dos contador ejemplos?

Gracias!

Answer 1

Su argumento no funciona porque$\frac{0}{0}$ no es un número racional. Lo que usted desea buscar es dos representaciones diferentes de la misma fracción que dan respuestas diferentes. Por ejemplo

$$ f \ left (\ frac {1} {2} \ right) = \ frac {2} {2} = 1, $$

pero,

$$ f \ left (\ frac {2} {4} \ right) = \ frac {3} {4}. $$

El problema es que en$\mathbb{Q}$,$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$, pero la función no es la misma para ambos.

Answer 2

Es posible que desee pensar en la pregunta como esta, con$r =\frac pq$

Para el primer caso$f(r) = r + \frac 1q$

Para el segundo caso, note que$q\neq 0 $ if$r$ es racional, y$f(r) = \frac {r+1}{r-1}$

Una función bien definida es aquella para la que puede determinar un solo valor definido para cada$r$.