Estimación del error de mediciones repetidas

Question

Dicen que usa una regla para hacer una medición de la anchura de un bloque de madera. Tenemos un poco de valor como 4.2 +/- 0.1 cm, donde el error es nuestro error estimado de nuestra regla de precisión. Ahora tenemos cuatro nuevos individuos medir el mismo bloque de madera, y dos de ellas obtienen 4.5 +/- 0.1cm y dos obtención 4.2 +/- 0.1 cm. Si tomamos la media de estos cinco medición obtenemos 4.32 +/- 0.16 cm, donde estoy ignorando cifras significativas en este ejemplo y la incertidumbre es la desviación estándar de las muestras. Ahora, en las que se indica la incertidumbre total de la anchura del bloque de madera, debo combinar las 0.16 en cuadratura con la 0.1, o debería propagar el error de cada medida a través de la desviación estándar de la fórmula y obtener una incertidumbre sobre mi incertidumbre, como 0.16 +/- alpha, donde alfa es la multiplicación de la incertidumbre del valor? O quizás debería ignorar la desviación estándar de las mediciones y el uso de la clásica 0.1/sqrt(5)---pero esto es tonta, dada la propagación de nuestras mediciones. Esta parece una pregunta simple, pero me parece que no puede encontrar dos fuentes que están de acuerdo sobre el asunto (har har).

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Si usted asume todos los ruidos son de Gauss (y especialmente la de +/- 0.1 realmente no lo es... pero de todos modos), entonces creo que el 0.16 ya es una estimación de la combinación de los dos ruidos. Así que me gustaría informe 4.32 +- 0.16/$\sqrt{n}$, donde n es el número de mediciones. Una derivación:

Así que estamos tratando de medir el ancho de $\mu$ de un bloque de madera. Supongamos que cada medida tiene algunos Gaussiano de error (tal vez debido a que los diferentes la gente está midiendo de forma diferente). Podemos escribir estas como $X_{1},\ldots,X_{n}\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})$. Pero la regla en sí tiene algunas imprecisiones, que para simplificity vamos a modelo Gaussiano así. Así que nuestro observaciones finales se $Y_{1},\ldots,Y_{n}$, distribuidos de la $Y_{i}\sim\mathcal{N}(X_{i},\rho^{2})$. Supongamos $\rho^{2}$ es conocido (por ejemplo, la precisión de la regla). A continuación, nuestro objetivo es estimar $\mu$, e $\sigma^{2}$ es una molestia parámetro. Esto es fácil porque el $X$'s y $Y$'s son conjuntamente normal. Escribir $(X,Y)$ para un genérico par de estas variables. Su distribución conjunta es $$ \begin{pmatrix}X\\ Y \end{pmatrix}\sim\mathcal{N}\left(\begin{pmatrix}\mu\\ \mu \end{pmatrix},\begin{pmatrix}\sigma^{2} & \sigma^{2}\\ \sigma^{2} & \rho^{2}+\sigma^{2} \end{pmatrix}\right) $$ Por lo $Y\sim N(\mu,\rho^{2}+\sigma^{2})$.

Deje $\bar{Y}=(Y_{1}+\cdots+Y_{n})/n$ ser el nuestro estimador para $\mu$. A continuación,$\bar{Y}\sim\mathcal{N}(\mu,[\rho^{2}+\sigma^{2}]/n)$. Ya que no conocemos a $\sigma^{2}$, me gustaría recomendar a conectar sus favorito de la muestra para estimar la varianza de la $Y$, se $\hat{\sigma}_{Y}^{2}$, y la contramarcha que en de $\rho^{2}+\sigma^{2}$. Así que al final termina con $\bar{Y}\pm\hat{\sigma}_{Y}/\sqrt{n}$.