Los postulados de la mecánica cuántica
Así que es la expresión matemática para cada operador individual también un postulado que no aparece, o que se deriven de otros axiomas?
La expresión matemática para cada operador individual es una especie de postulado, pero no debe aparecer. Los postulados definir una (más o menos) completar la teoría en la que yo pueda derivar de hechos matemáticos a partir de ella sin saber realmente nada acerca de la física.
Uno de los principales problemas es que el sitio que enlace a los (siguientes McQuarrie) es en mi opinión un muy mal sitio para la comprensión de los postulados de la mecánica cuántica, ya que hoy en día understodd y que le permiten penetrar más profundamente en la teoría. Sus postulados se encuentran entre los primeros postulados de la mecánica cuántica, cuando la gente todavía averiguar los fundamentos y las versiones actuales de los postulados que permiten una mejor separación de las matemáticas y la física.
Así que permítanme primer estado en una más moderna, la forma y explicar las diferencias (estoy copiando algo de esto de la Wikipedia):
-
Postulado 1: Cada sistema físico está asociado con un (topológicamente) separables complejo espacio de Hilbert $H$ con producto interior . Rayos (uno-dimensiones de los subespacios) en $H$ están asociados con los estados del sistema.
La diferencia de esta con su postulado de la 1 es que no nos referimos a "espacio". La función de onda es un objeto en abstracto, espacio de Hilbert, no necesariamente de algún "objeto" $\psi(x,t)$ con la posición y el tiempo. Su primer postulado ya incorpora la noción de "espacio" y por lo tanto necesita tener un par de operadores "fijo" (ver más abajo). Vamos a ir en:
-
Postulado 2: Físicos observables están representados por uno mismo-adjoint lineal de operadores en $H$. La expectativa de valor (en el sentido de la teoría de la probabilidad) de la observables $A$ para el sistema en el estado representado por el vector unitario $|\psi\rangle\in H$$\langle\psi| A |\psi\rangle$.
Hay que ir. Esta es su postulado 2 y 4 combinados. Su postulado 2 es la primera frase, la que Nace de la regla es esencialmente el segundo sistema.
-
Postulado 3: El espacio de Hilbert de un sistema compuesto es el espacio de Hilbert producto tensor del estado de los espacios asociados con el componente de los sistemas.
Ahora, el sistema no tiene este tipo de un postulado, si veo correctamente. Si ya funcionan en el espacio - y ya que cada partícula de vida en el mismo espacio - usted no necesita este postulado. Sin embargo, es más fácil considerar a cada partícula separada función de onda por separado, en un espacio de Hilbert y combinarlos mediante la introducción del tensor de productos (para las interacciones, ver más abajo). Tenga en cuenta que esto no se puede sostener en la teoría cuántica de campos, como el número de partículas no se conserva, pero eso no es importante aquí.
De esta manera, usted puede fácilmente acomodar a girar en la teoría, que no es posible con su función de onda $\psi(x,t)$. Resulta que para describir adecuadamente la vuelta, usted tiene que presentar otro parámetro que su función de onda depende. Eso no es muy agradable y significa que sus postulados no funcionará proberly. La imagen abstracta no tiene ningún tipo de problema.
-
Postulado 4: El tiempo de evolución del estado está dada por a (débilmente)función derivable de los números reales, que representan los instantes de tiempo, para el espacio de Hilbert de los estados del sistema. Este mapa se caracteriza por la ecuación de Schrödinger.
Esta es su postulado 5. Postulado 6 no está presente, no puede ser derivada a partir de este conjunto de postulados, pero si queremos mejorar la mecánica cuántica a la teoría cuántica de campos (tenga en cuenta que axiomático QFT es problemático), entonces puede ser, así que realmente no quieren centrarse en el presente y dejar que se fuera.
Los operadores en mecánica cuántica
Tenga en cuenta que en esta descripción, no podemos incluso definir "espacio". La teoría anterior describe de una manera muy abstracta de la teoría. ¿A qué posición de operador corresponden? Bueno, no sabemos, porque no sabemos qué "espacio". Sin embargo, esta describe una completa teoría y que pueda derivar matemáticamente significativas las declaraciones de ella. Por ejemplo, puedo decir que, en virtud del postulado 2 (en principio) el operador de Hamilton en el sistema debe ser en sí mismo una auto-adjunto del operador, debido a que el tiempo de evolución debe preservar $\langle \psi |\psi \rangle$, ya que esta constituye una medida de probabilidad. Sin embargo, ¿qué acerca de la física? La idea de estos postulados es que para cualquier experimento, que ahora tiene que especificar:
- el espacio de Hilbert
- el operador de Hamilton
- la posible observables
sólo si usted hace eso, usted puede comenzar a calcular nada. Esto es algo que recuerda a la teoría clásica, donde normalmente definir en primer lugar el espacio de fase (tal vez, su sistema de restricción de un movimiento de dimensiones tales como un péndulo. En este caso, el espacio de fase sólo tendría una $x$ e una $p$-coordinar). A continuación, seguir y definir el Lagrangiano o Hamiltoniana de acuerdo a su problema y, a continuación, se puede calcular todo. Usted tiene que hacer lo mismo en la mecánica cuántica.
Esto significa también que, a priori, no hay ninguna necesidad de tener la plaza de el impulso operador de estar representado por la negativa de Laplace (por ejemplo). Y ¿adivinen qué - además no es cierto en cualquier sistema (ver, por ejemplo, sistemas discretos, donde un "momenumt operador" todavía puede tener sentido). Vamos a hacer un ejemplo. Supongamos que usted desea considerar una partícula en tres dimensiones de la caja. Es de alguna manera intuitiva a tomar el espacio de Hilbert $L^2([0,1]^3)$ de las funciones en el cuadro de $[0,1]^3$. La posición de la partícula debe entonces ser sólo la "posición" $x$ en el cuadro, es decir, la posición del operador como la conocemos. Sin embargo, hay un teorema matemático que nos dice que todas las infinitas dimensiones (separable) espacios de Hilbert son iguales, así que yo también podría ir en describir la partícula en la caja de $[0,1]^3$ a través de una función de Hilbert spae $L^2(\mathbb{R})$. Este sería, por supuesto, muy en contra de la intuición. ¿Cuál sería la posición de operador? Probablemente diferente de la "intuitivo".
Esta es la razón por la que los operadores no están posutlated: Ellos son parte de lo que constituye el actual sistema físico que usted desee considerar! El específico de la expresión matemática de que un operador no es por lo tanto independiente de cómo usted elige para describir la teoría y, por lo tanto, no se forman los postulados.
Sin embargo, en vista de sus postulados aquí de nuevo, esto no es cierto. El primer postulado identifica un específico espacio de Hilbert, que básicamente corrige (para la mayoría de los sistemas) cómo la posición y el impulso de los operadores debe ser similar. Esto podría explicar su confusión y esperemos que le ayuda en su búsqueda de la comprensión de la mecánica cuántica mejor!
Cómo encontrar y atributo de los operadores?
Sin embargo, en realidad no responda a las reales subyacentes pregunta: ¿Cómo encontrar estos observables? ¿Y qué acerca de la historia?
Como ya he dicho, para cualquier sistema, usted tiene que encontrar el triple de espacio de Hilbert, de Hamilton, las características Observables. Todo esto de alguna manera, debe venir de la física. Y es aquí, donde su cuadro histórico es poco precisa (y esto se refiere también a la Marca de Mitchison del comentario):
Encontrar el espacio de Hilbert, Hamilton y observables es normalmente el/a menudo se hace por analogía. Su cuadro histórico da la idea de derecho en que se cuenta la historia de cómo las personas procedentes de la mecánica clásica llegar a la observables por analogía.
Un ejemplo: Dado un clásico de la partícula en una caja, usted puede escribir un Hamilton función en la mecánica clásica. Para una partícula cuántica, sabiendo que tiene algo así como "impulso" y "posición", usted desea tomar un espacio que tiene un aspecto bastante similar a la clásica configuración de espacio, por lo tanto $L^2([0,1]^3)$ parece una muy buena elección. La elección de la posición del operador como usted sabe que es entonces un "naturales" de la elección, sabiendo lo que la "posición" en el cuadro clásico. Entonces usted puede elegir el impulso operador tal que la base de relaciones de conmutación se cumplen. Estas relaciones de conmutación son "postulado" de los corchetes de Poisson en Hamiltoniana de la mecánica. En definitiva, resultó que en la mecánica clásica, tenemos $\{p,q\}=1$ con la distribución de Poisson brackte, y en la mecánica cuántica, tenemos $[P,Q]=i\hbar$ con el colector. Esto nos lleva a postular la regla de "tomar cualquier Poisson soporte a un colector modulo $i\hbar$", lo que no está bien definido, pero funciona bastante bien en la definición de los operadores para muchos sistemas (esto se llama canónica de cuantización). Esta es "la identificación de los operadores por analogía", pero claro, esto sólo puede funcionar si también el espacio de Hilbert es identificado por analogía.
Qué hacer con los observables como spin que no tienen una contraparte clásica? Bueno, en este caso el resumen de los postulados son muy potentes, ya Que permiten que usted acaba de hacer algo. La gente sabía que el spin funciona un poco como el momento angular de modo que tiene sentido postular que hay un "spin-parte" en el espacio de Hilbert que se acaba de $\mathbb{C}^2$ y el spin-mediciones son sólo $\sigma_i$, la Pauli-matrices. Desde los experimentos de confirmar su elección, todo está bien.
